Limita unei funcții

Limita unei funcții este una dintre cele mai importante noțiuni ale analizei matematice. Descrie comportamentul unei funcții în vecinătatea unui anumit punct, ceea ce ne permite, de exemplu, să definim continuitatea funcției. Limita ne ajută să înțelegem comportamentul funcției chiar și în punctele în care ea nu este deloc definită.

Vecinătatea unui punct

Începem cu definiția vecinătății de rază epsilon a unui punct pe mulțimea numerelor reale. Fie r ∈ ℝ. Spunem atunci că vecinătatea de rază epsilon a acestui punct, pentru ϵ > 0, este intervalul deschis (r − ϵ, r + ϵ). Vecinătatea redusă de rază epsilon este aceeași, doar că nu conține punctul r. Vecinătatea redusă este (r − ϵ, r) ∪ (r, r + ϵ). Vecinătatea de rază epsilon a punctului a o notăm U(a, ϵ), iar vecinătatea redusă R(a, ϵ).

Ca exemplu luăm numărul cinci și vecinătatea lui de rază 2. Calculăm deci U(5, 2), adică intervalul (5 − 2, 5 + 2) = (3, 7). Vecinătatea redusă ar fi R(5, 2) = (3, 5) ∪ (5, 7). Aceeași vecinătate, doar fără punctul cinci. Reprezentată grafic, vecinătatea de rază 2 a punctului 5:

Vecinătatea redusă de rază 2 ar arăta la fel, doar că punctul albastru 5 nu ar fi inclus.

Punct de acumulare

În continuare avem nevoie de definiția punctului de acumulare al unei mulțimi. Elementul a ∈ ℝ este punct de acumulare al mulțimii M ⊆ ℝ dacă în orice vecinătate redusă a sa, oricât de mică, se află un punct al mulțimii M. Mai exact:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \varnothing$$

Exemple: orice număr real este punct de acumulare al mulțimii numerelor reale. Dacă alegem numărul 10, în orice vecinătate redusă a acestui punct găsim întotdeauna un număr real. Pentru $ϵ=\frac{1}{100}$ obținem vecinătatea redusă (9,99; 10) ∪ (10; 10,01). În ambele intervale se află câte un număr real – mai exact, se află acolo o infinitate de numere reale. Așadar, oricât de mic ar fi ϵ, obținem mereu intervale care conțin o infinitate de numere reale.

Dacă pentru M am alege mulțimea numerelor naturale, nu am găsi niciun punct de acumulare. De exemplu, numărul $\frac{1}{2}$ nu este punct de acumulare, pentru că pentru $ϵ=\frac{1}{10}$ obținem intervalele (0,4; 0,5) ∪ (0,5; 0,6), iar niciunul dintre ele nu conține vreun număr natural.

Motivație pentru limite

Începem cu cea mai ușoară definiție – limita finită într-un punct finit. Mai întâi să vedem ce vrem de fapt să calculăm. Privește graficul următor al funcției semn:

Dacă luăm punctul x₁ = 3, valoarea funcției în acest punct este 1. Avem sgn(3) = 1. În același timp, pentru toate punctele „apropiate” funcția are tot valoarea 1, de exemplu sgn(2,5) = 1 sau sgn(3,5) = 1. Dacă ne apropiem de punctul x₁ = 3 din stânga sau din dreapta, valorile funcției sunt mereu egale cu unu.

Dar dacă luăm punctul x₂ = 0, avem sgn(0) = 0, deși toate punctele din jur au altă valoare! De exemplu $\mathrm{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ sau $\mathrm{sgn}(\frac{1}{2})=1$. Valorile funcției din dreapta se apropie de 1, iar cele din stânga se apropie de −1. Iar în punctul x₂ = 0 obținem în cele din urmă valoarea 0. O păcăleală. Aceste valori de care se apropie funcția într-un punct dat se numesc limitele funcției în punct.

Definiția limitei finite într-un punct finit

Fie f o funcție și x₀ ∈ ℝ un punct de acumulare al domeniului de definiție al funcției f. Spunem atunci că L ∈ ℝ este limita funcției f în punctul x₀ dacă

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

Să vedem acum ce înseamnă această definiție. Punct finit înseamnă aici că punctul dat este un număr real. Mai târziu vom vorbi despre limite în puncte infinite, adică în infinit. Să încercăm să calculăm această limită:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

La funcții atât de simple, limita funcției în punctul x₀ este egală cu valoarea funcției în acest punct: f(x₀). Mai târziu vom defini exact ce înseamnă „funcție simplă”. Acum desenăm totul:

Dreapta neagră reprezintă graficul funcției $f(x)=\frac{x}{3}$, punctul roșu x₀ este punctul în care căutăm limita, iar punctul verde L este limita obținută. Observă că limita o reprezentăm pe axa Oy.

Mergem mai departe după definiție. Pe primul loc în definiție este (∀ϵ > 0), iar mai târziu ϵ apare în |f(x) − L|<ϵ – este scrierea matematică a faptului că vrem ca toate valorile f(x) să fie la o distanță mai mică decât ϵ de L. Căutăm deci vecinătatea de rază ϵ a punctului L pe axa Oy. Conform definiției, putem alege orice ϵ > 0; alegem, de exemplu, $ϵ=\frac{3}{10}$. Găsim pe axa Oy punctele aflate la distanța exact ϵ de punctul L:

Toate punctele de pe axa Oy aflate între aceste linii verzi se află în vecinătatea de rază ϵ a punctului L. Acestea sunt punctele despre care vorbește definiția.

Definiția continuă cu expresia (∃δ>0), folosită mai departe în expresia 0<|x − x₀|<δ. Spunem că diferența x − x₀ trebuie să fie mai mică decât δ. Pentru că x și x₀ se află pe axa Ox, vom reprezenta și valoarea δ pe axa Ox. Expresia 0<|x − x₀|<δ ne spune din nou să luăm toate valorile x aflate la o distanță mai mică de δ de x₀, dar în același timp mai mare decât zero, adică x ≠ x₀. Înseamnă că această scriere reprezintă vecinătatea redusă de rază δ a punctului x₀. Definiția limitei o putem deci rescrie echivalent cu ajutorul vecinătăților:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D)(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Revenim la definiția precedentă și continuăm desenul. Pentru a ilustra, avem nevoie de următoarea parte a definiției:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Așadar, pentru toți x din vecinătatea redusă de rază δ a punctului x₀ trebuie să fie adevărată… o anumită condiție. Adăugăm în desen vecinătatea redusă de rază δ a punctului x₀, de exemplu pentru $\delta =\frac{3}{2}$:

Toți x aflați între liniile roșii punctate aparțin vecinătății de rază δ a lui x₀, cu excepția punctului x₀ însuși. Ne uităm din nou la condiția precedentă:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Pentru toți x din vecinătatea redusă de rază δ a punctului x₀ trebuie ca toate valorile f(x) să se afle în vecinătatea de rază ϵ a punctului L. Luăm deci toți x din vecinătatea redusă de rază δ a punctului x₀ și calculăm valorile funcției. În desenul următor, aceste valori sunt reprezentate prin segmentul albastru:

Punctul x₀ nu se află în vecinătatea redusă, de aceea în acel loc este un cerculeț. Definiția ne spune că toate aceste puncte albastre trebuie să se afle în vecinătatea de rază ϵ a punctului L. Pe înțelesul culorilor din desen: toate punctele albastre trebuie să fie între liniile verzi, care reprezintă vecinătatea de rază ϵ. Este adevărat?

Evident că nu, de exemplu pentru $x=\frac{16}{10}$ obținem în mod clar un punct albastru care nu se află între liniile verzi, adică nu este în vecinătatea de rază ϵ a punctului L.

Nu-i nimic, definiția ne spune că pentru orice vecinătate de rază ϵ a punctului L trebuie să existe o vecinătate de rază δ astfel încât … restul condiției. Înseamnă că este suficient să existe o singură astfel de vecinătate de rază δ. $\delta =\frac{3}{2}$ n-a fost evident o alegere bună, dar putem încerca alt δ, de exemplu $\delta =\frac{1}{2}$. Desenul s-ar schimba astfel:

Ne uităm din nou dacă toate valorile funcției pentru toți x din vecinătatea redusă de rază δ a punctului x₀ se află în vecinătatea de rază ϵ a punctului L. Pe scurt, dacă toate punctele albastre sunt între liniile verzi. Da, acum sunt, ura.

Înseamnă că L este limita funcției în punctul x₀? Nu neapărat, pentru că definiția spune că (∀ϵ > 0) …. Noi am verificat definiția pentru un singur ϵ concret, mai rămân … o infinitate.

Cu alte cuvinte – pentru ca egalitatea $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$ să fie într-adevăr adevărată, ar trebui ca pentru fiecare vecinătate de rază ϵ să găsim o vecinătate de rază δ astfel încât să fie adevărată condiția precedentă. Din desen se vede că o astfel de vecinătate de rază δ găsim mereu; de exemplu, dacă micșorăm ϵ la $ϵ=\frac{1}{10}$, putem micșora δ la $\delta =\frac{2}{10}$ și va funcționa:

Oricât de mic ar fi ϵ, trebuie să găsim mereu un δ astfel încât să putem aduce valorile funcției în vecinătatea de rază ϵ a limitei L.

Demonstrarea limitei finite într-un punct finit

Să încercăm să demonstrăm cu adevărat limita precedentă. Din desen știm deja că probabil

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

acum încercăm să o demonstrăm matematic. Din desen am putea deduce că, dacă luăm întotdeauna pentru δ aceeași valoare ca pentru ϵ, ar putea să iasă. Așadar punem δ = ϵ. Acum trebuie să demonstrăm

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{pentru toți}x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$$

Pentru că am pus δ = ϵ, schimbăm toți δ în ϵ:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{pentru toți}x\in (x_0-ϵ,x_0)\cup (x_0,x_0+ϵ)$$

În locul lui L punem 1, iar în locul lui x₀ punem 3:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{pentru toți}x\in (3-ϵ,3)\cup (3,3+ϵ)$$

Acum ar trebui să demonstrăm toate inegalitățile. Pentru că funcția $\frac{x}{3}$ este strict crescătoare, este suficient să verificăm extremitățile 3 − ϵ și 3 + ϵ. Începem cu 3 − ϵ – înlocuim în funcția $\frac{x}{3}$ valoarea 3 − ϵ și arătăm că această valoare va satisface mereu inegalitățile 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

La fel pentru 3 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Limită determinată greșit

Să schițăm acum ce s-ar întâmpla dacă am crede că limita funcției pentru x care tinde la trei este o doime. Am alege o vecinătate epsilon mică:

Și în acest moment nu mai putem găsi o vecinătate de rază δ a punctului x₀ ale cărei valori ale funcției să încapă toate între aceste linii verzi. Vedem că pentru vecinătatea de rază δ aleasă toate punctele albastre sunt în afara liniilor verzi. Dacă am mări vecinătatea de rază δ, am mări doar numărul punctelor albastre pe care nu le putem aduce între liniile verzi.

Limita funcției semn

Funcția semn este o funcție frumoasă, care probabil te va încurca. Urmează graficul:

Graficul nu este chiar clar, așa că o descriere în cuvinte: dacă x este negativ, semnul este minus unu, dacă este pozitiv, este plus unu, iar dacă x este nul, atunci și semnul este zero. Modificăm graficul cu ajutorul modulului f(x) = |sgn(x)| și obținem astfel |sgn(0)| = 0, iar în celelalte cazuri |sgn(x)| = 1. Graficul:

Întrebarea este: cu ce este egală această limită?

$$\underset{x\to 0}{lim}|\mathrm{sgn}(x)|=?$$

Funcția este definită în punctul zero, iar valoarea funcției este tot zero. Totuși, asta nu ne spune că și limita va fi zero. Limita poate fi diferită de valoarea funcției în punctul dat.

Singura posibilitate de a alege limita astfel încât definiția să iasă corect este să alegem limita egală cu unu. Ne putem ajuta și de intuiție: de ce se apropie valoarea funcției dacă x se apropie de zero din stânga? Se apropie mereu de unu. Faptul că în final sare la zero nu ne deranjează. La fel pentru x care se apropie de zero din dreapta.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\mathrm{sgn}(x)|=1$$

Dacă am lăsa funcția în forma inițială, adică f(x) = sgn(x), atunci funcția nu va avea limită în punctul zero, ci două limite laterale diferite. Din stânga funcția se va apropia de minus unu, iar din dreapta de plus unu. Poți încerca să demonstrezi asta după definiție.

Limite care nu există

Vom arăta încă câteva exemple în care limitele nu există.

Cel mai simplu exemplu de limită inexistentă este să calculăm limita într-un punct care nu este punct de acumulare al lui D. Așadar, de exemplu, nu există limita:

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Graficul:

Funcțiile periodice nu au adesea limită la infinit (nu este valabil pentru toate!). Tipic funcțiile trigonometrice, cum ar fi sinusul. Urmează graficul:

Limita la infinit pur și simplu nu există, valoarea sinusului oscilează mereu între unu și minus unu, deci limita nu poate fi calculată.