Derivata unei funcții

Derivata este o noțiune de bază a calculului diferențial, are un rol important, de exemplu, în studiul funcției și, pe de o parte, este urâtă de elevi, iar pe de altă parte derivata se poate calcula și de o maimuță dresată cum trebuie. În acest articol sunt doar descrise și explicate definiția derivatei și noțiunile legate de ea. Exemplele rezolvate le găsești în articolele vecine: exemple simple de derivate și exemple mai grele. Procesul opus derivării este integrarea.

Ce este derivata

Înainte să ajungem la definiția derivatei, să vedem ce anume calculăm cu ajutorul derivatei și la ce ne poate fi de folos.

Cu derivata unei funcții obținem panta tangentei. Sunt cam multe cuvinte grele la un loc, așa că o luăm de la început. Simplu spus, tangenta este o dreaptă care atinge graficul dat într-un singur punct. Nu este o definiție exactă, pe aceea o poți citi, de exemplu, pe Wikipedia, dar aproximativ este suficient. Acum privește figura următoare:

Curba neagră este graficul funcției y = x². Dreapta albastră este tangenta la această funcție în punctul D(1, 1), marcat cu roșu. Cu verde este marcat unghiul α pe care tangenta îl face cu axa Ox – mai exact cu semiaxa pozitivă Ox. Acum definim noțiunea de pantă a tangentei. Panta tangentei este în această figură tangenta unghiului alfa. Tangenta este o funcție trigonometrică clasică, cu ajutorul căreia putem calcula, de exemplu, unghiuri și lungimi de laturi în triunghi. Deci panta tangentei este tangenta unghiului pe care tangenta la grafic îl face cu semiaxa pozitivă Ox. Iar această pantă o obținem tocmai cu ajutorul derivatelor.

Mai departe distingem noțiunile de derivată a funcției într-un punct și derivată a funcției. Derivata funcției într-un punct reprezintă tocmai panta tangentei în punctul dat. Derivata funcției este apoi o altă funcție, care dă pantele pentru un argument oarecare x. Urmează un exemplu.

Motivație

Cu ajutorul derivatei putem așadar calcula pantele tangentelor. La ce ne poate fi de folos? Privește figura următoare:

În figură este din nou funcția y = x² și patru tangente marcate. Două verzi și două albastre. Observă că funcția y = x² este strict descrescătoare pe intervalul (−∞, 0), iar pe intervalul (0, +∞) este strict crescătoare. Dar ce se întâmplă în același timp cu tangentele lor, respectiv cu unghiul pe care îl fac cu semiaxa pozitivă? Tangentele albastre, adică tangentele care trec prin puncte din intervalul pe care funcția crește, fac cu axa un unghi mai mic de 90 de grade. În schimb tangentele verzi fac cu axa un unghi mai mare de 90 de grade. Cum se reflectă asta în pantele tangentelor?

Pentru asta trebuie să cunoaștem comportamentul funcției tangentă. Din graficul următor aflăm că dacă unghiul are măsura mai mică de 90 de grade, atunci valoarea tangentei este pozitivă (partea evidențiată cu albastru); invers, dacă unghiul este mai mare de 90 de grade, dar mai mic de 180 de grade (adică mai mic de π radiani), atunci valoarea tangentei este negativă. Ce concluzie putem trage? Dacă panta tangentei (nu uita că panta este chiar tangenta unghiului) în punctul dat este pozitivă, atunci funcția este în acel punct crescătoare, iar dacă este negativă, atunci este descrescătoare.

Definiția

Înainte să ajungem la definiția propriu-zisă a derivatei, trebuie să parcurgem un drum lung. Și vom avea nevoie de limita unei funcții. Dacă nu stăpânești limitele, întoarce-te la ele sau sari direct la formule, restul explicațiilor probabil nu sunt pentru tine.

Înainte să trecem la panta tangentei propriu-zise, ne oprim la panta secantei, care este mai simplă. Secanta este o dreaptă care taie graficul în două puncte. Acum încercăm să deducem cum am calcula această pantă. Privește figura:

Avem acolo graficul funcției x² + 1 și secanta s, care taie graficul în două puncte, (0,5; 1,25) și (2, 5). Aceste puncte sunt evidențiate cu albastru. Pentru că nu ne interesează prea mult valorile concrete, în grafic aceste valori sunt marcate în general ca a și b și f(a) și f(b). Unde f(a) este valoarea funcției f în punctul x = a. Deci: valoarea funcției noastre x² + 1 în punctul x = 2 este 2² + 1 = 5.

Acum trebuie să deducem cum se calculează unghiul notat alfa, adică unghiul pe care secanta îl face cu axa Ox. Modificăm mai întâi puțin figura, ca să obținem un triunghi, cu care va fi mai ușor de lucrat.

Ce am făcut? Am unit printr-un segment punctele în care secanta intersecta graficul funcției y = x² + 1 și le-am completat până la un triunghi dreptunghic ABC. Cu ce ne-a ajutat? Unghiul notat β are aceeași măsură ca unghiul α (sunt unghiuri corespondente). În același timp cunoaștem lungimile laturilor AB și BC. Avem |AB| = b − a (este pur și simplu distanța de la punctul b la a). La fel, lungimea |BC| = f(b) − f(a). Cum calculăm acum măsura unghiului β, respectiv α?

Trebuie să știm cum se calculează tangenta. Tangenta este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată, deci tangenta unghiului alfa (beta) este egală cu raportul dintre lungimea laturii BC și lungimea laturii AB. Scriem:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Pentru că panta este tangenta unghiului, cu această formulă am calculat panta secantei. Dar cum ne ajută asta, când vrem să calculăm panta tangentei? Imaginează-ți că apropiem punctele A și C unul de altul până când se suprapun. Apropierea este ilustrată în figură:

Cu cât apropiem mai mult punctul de intersecție de sus de cel de jos, cu atât secanta se apropie mai mult de a deveni tangentă. Secanta/dreapta inițială CA era departe de tangentă. Când apropiem punctul C de punctul A, obținem, de exemplu, secanta C₁A, care seamănă deja mai mult cu tangenta. Secanta C₂A seamănă și mai mult etc.

Când devine secanta tangentă? În momentul în care ambele puncte de intersecție se unesc într-unul singur, adică atunci când pentru un punct C_n ar fi C_n = A. În acel moment din secantă am făcut tangentă, ceea ce voiam. Întrebarea este cum calculăm panta, pentru că nu putem pur și simplu să scădem aceste două puncte, fiindcă sunt identice:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Așa nu merge, nu putem calcula în felul acesta. Nu degeaba am doar apropiat punctele date unul de altul. Vom avea nevoie de limită. Vrem acum să calculăm panta tangentei în punctul dat (a, f(a)) și avem la dispoziție pantele tuturor secantelor posibile (pe acelea știm deja să le calculăm). Vom calcula deci succesiv pantele secantelor, pe care le vom apropia astfel încât să obținem tangenta. Vom apropia deci b de a. Nu putem apropia punctele până devin egale, dar le putem apropia astfel încât diferența lor să tindă la zero. Iată limita. Deci vom apropia b de a până când la limită vor fi egale. Calculăm, așadar, limita când b tinde la a. Asta e tot, formula arată astfel:

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Această limită o numim derivata funcției f(x) în punctul x = a. Îți amintesc că unghiul α este egal cu unghiul β. De obicei nu folosim variabilele a și b, ci căutăm derivata în punctul x₀ și ne apropiem cu punctul x. Putem scrie atunci:

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Până acum am definit, la fel ca la continuitatea funcției, derivata într-un singur punct. Dacă avem o funcție f(x) care este derivabilă pe un interval deschis I, atunci valorile acestei derivate definesc funcția f′(x), pe care o numim derivata funcției.

Derivata se notează cu un apostrof (prim) în dreapta sus, cam așa:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

Poți întâlni și o altă formă de notație, cu dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

În formula pe care am folosit-o adineauri putem deci înlocui tangenta cu notația derivatei:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Putem defini și derivata la dreapta sau la stânga cu ajutorul limitelor laterale. Nu ne vom ocupa de asta acum, nu este chiar atât de important.

O definiție puțin diferită

O altă definiție a derivatei funcției într-un punct arată astfel:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Cum ajungem la o astfel de definiție? Este suficient să modificăm puțin figura de la care am pornit. Putem exprima distanța dintre punctul a și punctul b ca h = b − a. Prin urmare putem scrie punctul b ca a + h, pentru că h este tocmai distanța de la b la a. Figura ar arăta astfel:

Jos avem punctele a și a + h, iar pe axa Oy valorile f(a) și f(a + h). Acum creăm din nou triunghiul și calculăm tangenta unghiului beta. Doar cu diferența că lungimea laturii AB o avem deja calculată, este chiar h.

Derivata finită și infinită

Și derivatele pot fi finite sau infinite, la fel ca limitele funcțiilor. Ce înseamnă asta? Derivata este finită dacă valoarea derivatei în punct este egală cu un număr real. Derivata este infinită dacă este egală cu plus sau minus infinit. Cum ne-o putem imagina geometric? Când este panta „infinită”? Începem cu o întrebare mai ușoară – cum arată tangenta a cărei pantă este egală cu un număr mare? Din graficul tangentei (vezi mai sus) se vede că dacă valoarea tangentei este mare, atunci unghiul se apropie de 90 de grade (dacă ne mișcăm în intervalul (0, 180)).

Se poate deduce de aici că dacă funcția are în punctul dat derivată infinită, atunci tangenta va face cu axa Ox un unghi drept, va fi perpendiculară pe ea. Și chiar așa este. Cum ar putea arăta graficul unei astfel de funcții și în ce punct ar fi tangenta perpendiculară pe axa Ox? De exemplu funcția $y=\sqrt[3]{x}$:

Proprietăți de bază

• Pentru ca funcția să aibă derivată într-un punct, trebuie să fie definită într-o vecinătate de rază epsilon a acestui punct. Dacă această vecinătate nu ar exista, nu am ajunge la limitele prin care este definită derivata.

• Unicitatea existenței (sau inexistenței) limitelor ne implică faptul că, dacă într-un punct există derivata, ea este unică. Nicio funcție nu are într-un punct mai multe derivate. Fie una, fie niciuna.

• La fel ca la limitele laterale, dacă funcția are derivată într-un punct, atunci derivata la stânga și derivata la dreapta trebuie să fie egale.

• Uneori avem nevoie de așa-numita derivată de ordinul al doilea. Nu este nimic complicat, pur și simplu derivăm funcția o dată și apoi derivăm rezultatul încă o dată. O notăm cu două apostrofuri: f''(x) = (f'(x))'.

• O proprietate importantă: dacă funcția are derivată într-un punct, atunci funcția este în acel punct continuă. Provine din nou din proprietățile limitelor. Atenție, reciproca nu este adevărată. Dacă funcția este continuă într-un punct, nu înseamnă că este și derivabilă acolo. Un exemplu tipic este funcția f(x) = |x|. Graficul are un vârf ascuțit, nu se poate calcula panta tangentei în acest vârf. Poți încerca să calculezi derivata la stânga și la dreapta, vor fi diferite.

  

• Cu ajutorul derivatelor se pot calcula și unele limite, pentru asta există regula lui l'Hôpital.

Trimiteri

În articolul vecin găsești o listă de formule pentru lucrul cu derivatele. Altele găsești pe Wikipedia.

Poți să te uiți și la exemplele rezolvate de derivate și apoi, eventual, la exemplele mai grele de derivate.

Dacă ai nevoie să verifici rapid un calcul de derivată, poți folosi un instrument matematic, cum ar fi Wolfram|Alpha. Este suficient să scrii în câmpul de intrare de acolo „derive x^2+6x” (de exemplu), iar Wolfram îți calculează derivata funcției date.