Șiruri de numere

Un șir este o funcție al cărei domeniu de definiție este mulțimea numerelor naturale nenule ℕ^∗. Șirul poate fi infinit, dacă domeniul său de definiție este întreaga mulțime ℕ^∗, sau finit, dacă domeniul său de definiție este doar o submulțime finită a ei. Dacă nu se spune explicit că șirul este finit, se presupune că este infinit.

Definiția șirului

Acest capitol explică, măcar în parte, sensul definiției șirului. Nu e neapărat nevoie să îl știi, poți sări peste el dacă vrei.

Introducerea a dezvăluit deja că este vorba despre o funcție care are ca domeniu de definiție numerele naturale nenule. Mulțimea valorilor poate fi orice mulțime, dar aici vom presupune mulțimea numerelor reale. Ce înseamnă asta? Cea mai vizibilă schimbare apare la graficul funcției: nu va mai fi o linie continuă, cum se întâmplă de obicei la funcțiile obișnuite, ci doar puncte izolate, răspândite, ale șirului.

Un șir poate fi, de exemplu, 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Este un șir destul de clar definit și oricine ar trebui să vadă cum continuă. Fiindcă este o funcție, tabelul corespondenței pentru acest șir ar arăta așa:

$\begin{array}{rcl} 1 & \to & 1 \\ 2 & \to & 3 \\ 3 & \to & 5 \\ 4 & \to & 7 \\ \dots \end{array}$

Numerele din prima coloană (valorile din domeniul de definiție) arată deci rangul numărului respectiv în șir. De exemplu, în șirul nostru simplu numărul cinci se află pe poziția a treia, exact cum ne spune și tabelul. Pe poziția a patra din șir este numărul șapte, pe prima poziție este unu și așa mai departe. De aici rezultă și că domeniul de definiție al unui șir finit p ar trebui să fie o mulțime de forma

$D_{p} = {1, 2, 3, \dots, n},$

pentru ca să fie cu adevărat vorba despre rang și nicio poziție să nu fie omisă. De exemplu, mulțimea

$D_{p} = {1, 2, 3, 5, 7}$

nu se potrivește ca domeniu de definiție al unui șir, pentru că îi lipsesc al patrulea și al șaselea termen.

Un șir se caracterizează deci prin faptul că termenii lui pot fi ordonați într-un fel: fiecare termen al șirului, în afară de primul și de ultimul, are un predecesor și un succesor. Aceasta este o diferență enormă față de funcțiile reale, unde nu există așa ceva. Dacă luăm funcția f(x) = 2x, ce valoare urmează după f(5/2)? Nu știm, rezultatul este un număr real, iar numerele reale nu au succesor.

Notarea șirului

Știm deja că – simplificat spus – un șir este o listă numerotată de numere. Să vedem acum cum se poate nota un șir. Șirul însuși se notează de obicei cu o literă mică cu indice, de exemplu a_i.

Prima modalitate este enumerarea tuturor valorilor șirului. Ne-am întâlnit deja cu ea în capitolul precedent. Enumerarea poate fi finită sau infinită:

$\begin{array}{rcl} a_{k} & = & (1, 2, 3, 4, 5) \\ a_{n} & = & (2, 4, 6, 8, 10, \dots) \end{array}$

Observație: șirurile se scriu de obicei cu paranteze rotunde, de exemplu (a_n)_{n ≥ 1}. Acoladele nu se potrivesc, pentru că ele notează mulțimi, la care ordinea nu contează, în timp ce la șiruri ordinea termenilor contează.

A doua posibilitate este o formulă pentru termenul general a_n al șirului. De exemplu, șirul a_n conținea toate numerele pare. L-am putea exprima printr-o formulă astfel:

$a_{n} = 2 n .$

Indicele n ne spune al câtelea termen al șirului îl calculăm. Așadar, dacă vrem primul termen, ne trebuie a₁, iar dacă vrem al șaptelea, a₇. Al șaptelea termen îl calculăm apoi înlocuind în formulă.

$a_{7} = 2 \cdot 7 = 14$

Această notație este avantajoasă, pentru că permite calculul imediat al oricărui termen al șirului. O altă posibilitate este notarea printr-o definiție recurentă. Definiția recurentă ne permite să calculăm termenul următor dacă îl cunoaștem pe cel curent. Cu alte cuvinte, dacă îl cunoaștem pe a_n, ea ne permite să calculăm termenul a_{n + 1}.

Dacă vrem să dăm un șir recurent, trebuie să precizăm două lucruri: care este primul termen și regula de calcul a termenului de rang n + 1. Dacă am vrea să dăm recurent șirul numerelor naturale pare nenule, am putea face așa:

$a_{1} = 2; a_{n + 1} = a_{n} + 2$

Cum s-ar calcula acum? Știm că a₁ este egal cu doi. Înlocuim acum pe n cu unu și astfel îl calculăm pe a₂ adunând doi la a₁. Obținem patru, al doilea număr par. Și tot așa.

$\begin{array}{rcl} a_{1} & = & 2 \\ a_{2} & = & a_{1} + 2 (= 4) \\ a_{3} & = & a_{2} + 2 (= 6) \\ a_{4} & = & a_{3} + 2 (= 8) \\ \dots \end{array}$

Notația prin definiție recurentă este potrivită atunci când trebuie să generăm o porțiune mai mare a șirului. În schimb, nu este potrivită atunci când vrem să calculăm un anumit termen, pentru că, pentru a calcula al o sutălea număr par, trebuie să calculăm mai întâi toate cele 99 de numere pare care îl preced.

Ultima posibilitate este să dăm șirul printr-un grafic.

Încă o precizare: un șir nu trebuie neapărat să aibă o regulă simplă, nu trebuie să fie o listă „rezonabilă” de numere. Și această listă de numere este un șir, chiar dacă la prima vedere nu are niciun sens mai profund:

$a_{i} = (- 5, \frac{7}{3}, π, π, π, 13, 10^{6} + 54, \log_{3} 54, 0)$

Graficul șirului

Șirurile au grafice diferite de cele ale funcțiilor reale obișnuite. Fiindcă au ca domeniu de definiție numerele naturale nenule, graficul lor este format din puncte izolate.

Graficul șirului a_n=n

Graficul șirului a_n=1/n

Progresia aritmetică

Progresia aritmetică este un șir simplu, în care între termenii consecutivi există o diferență constantă. Fiecare termen următor este, de exemplu, mai mare cu trei sau mai mic cu șaptesprezece. Diferența cu care se deosebesc termenii consecutivi se numește rație (o notăm r). În primul caz rația ar fi trei, în al doilea minus șaptesprezece, iar în cazul șirului numerelor pare rația ar fi doi. Printr-o formulă, progresia aritmetică s-ar putea scrie astfel:

$a_{n + 1} = a_{n} + r$

Formula generală pentru calculul termenului de rang n al progresiei aritmetice este

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r .$

Ca exemplu luăm din nou numerele pare, unde rația este doi și primul număr par este tot doi. Atunci al doilea număr par îl obținem adunând doi la primul. Dacă mai adunăm o dată doi, obținem al treilea număr par.

$\begin{array}{rcl} a_{1} & = & 2 \\ a_{2} & = & a_{1} + 2 (= 4) \\ a_{3} & = & a_{2} + 2 (= 6) \\ a_{4} & = & a_{3} + 2 (= 8) \\ \dots \end{array}$

Dacă am vrea să calculăm, de exemplu, al șaptelea număr par, am înlocui în formula generală astfel:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r \to a_{7} = 2 + (7 - 1) \cdot 2 = 2 + 12 = 14$

Cum aflăm dacă un șir dat este o progresie aritmetică? Scădem formula termenului de rang n din formula termenului de rang n + 1 și, dacă obținem o constantă, este vorba despre o progresie aritmetică. De exemplu, fie șirul

$a_{n} = 2 n + 7.$

Este acest șir o progresie aritmetică? Începem prin a scrie termenul de rang n + 1:

$a_{n + 1} = 2 (n + 1) + 7.$

Acum scădem cele două expresii una din alta:

$\begin{array}{rcl} r & = & (2 (n + 1) + 7) - (2 n + 7) \\ r & = & 2 n + 2 + 7 - 2 n - 7 \\ r & = & 2 n - 2 n + 7 - 7 + 2 \\ r & = & 2 \end{array}$

Vedem că, după scădere, am obținut r = 2, deci este o progresie aritmetică cu rația doi.

Suma termenilor unei progresii aritmetice

Deseori trebuie să aflăm suma primilor termeni ai unei progresii aritmetice. Cum am proceda? Intuitiv, cam așa. Rămânem la numerele pare. Care este suma primelor trei numere pare? Adică a numerelor 2, 4 și 6. Le putem aduna, desigur, pe rând, dar nu asta vrem, noi vrem o formulă.

Modificăm șirul astfel: la primul termen adunăm doi, iar din ultimul scădem doi. Obținem 4, 4, 4. Vedem că avem trei numere egale, așa că e suficient să înmulțim patru cu numărul de termeni, adică cu trei. Deci 4 · 3 = 12.

La cinci termeni ar arăta așa: 2, 4, 6, 8, 10. La termenii de la capete adunăm, respectiv scădem patru, iar la cei vecini cu ei doi.

$\begin{array}{rcl} a_{i} & = & (2 + 4), (4 + 2), 6, (8 - 2), (10 - 4) \\ a_{i} & = & 6, 6, 6, 6, 6 \end{array}$

Din nou este suficient să înmulțim 6 · 5 = 30. Ce observăm? Înmulțim mereu numărul de termeni ai șirului cu termenul din mijloc. În șirul 2, 4, 6 la mijloc era patru, iar în șirul 2, 4, 6, 8, 10 la mijloc era 6. Cum calculăm în general termenul din mijloc (notat p)? Îl calculăm ca medie a primului și a ultimului termen al șirului, adică

$p = \frac{a_{1} + a_{n}}{2}$

De exemplu, pentru al doilea șir

$p = \frac{2 + 10}{2} = 6.$

Formula finală pentru suma primilor n termeni ai șirului a_n ar arăta așa:

$S_{n} = n \cdot \frac{a_{1} + a_{n}}{2}$

Formula este valabilă și pentru un număr par de termeni, deși în deducere am folosit doar un număr impar de termeni.

Cum calculăm rația

Cum calculăm rația dacă cunoaștem doi termeni ai șirului? Rămânem la numerele pare. Să zicem că cunoaștem acești doi termeni ai șirului

$a_{3} = 6, a_{7} = 14.$

Cum calculăm rația? Mai întâi calculăm diferența dintre cei doi termeni:

$a_{7} - a_{3} = 14 - 6 = 8$

Acum e suficient să împărțim acest rezultat la numărul de pași dintre cei doi termeni cunoscuți, adică la diferența indicilor lor:

$\frac{a_{7} - a_{3}}{7 - 3} = \frac{8}{4} = 2.$

Rația este doi. Formula finală pentru calculul rației r, dacă cunoaștem termenii a_k și a_l ai șirului:

$r = \frac{a_{l} - a_{k}}{l - k}$

Graficul unei progresii aritmetice arată o creștere constantă sau o descreștere constantă – punctele izolate din grafic se află pe o dreaptă.

Graficul șirului a_n=3n

Progresia geometrică

Progresia geometrică se deosebește de cea aritmetică prin faptul că doi termeni vecini nu au aceeași diferență, ci același cât. Și acest cât se numește rație, ca la progresia aritmetică, dar se notează q. De exemplu, am putea avea un șir în care q = 10 și primul termen este 5:

$\begin{array}{rcl} a_{1} & = & 5 \\ a_{2} & = & a_{1} \cdot 10 (= 50) \\ a_{3} & = & a_{2} \cdot 10 (= 500) \\ a_{4} & = & a_{3} \cdot 10 (= 5000) \end{array}$

În general, deci, are loc formula:

$a_{n + 1} = a_{n} \cdot q$

Formula termenului general al progresiei geometrice ar arăta așa:

$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$

De exemplu, al treilea termen al șirului precedent l-am calcula astfel:

$\begin{array}{rcl} a_{3} & = & a_{1} \cdot q^{3 - 1} \\ a_{3} & = & 5 \cdot q^{2} \\ a_{3} & = & 5 \cdot 10^{2} \\ a_{3} & = & 500 \end{array}$

Progresiile geometrice se pot împărți în încă două grupe, după rația lor. Dacă valoarea absolută a rației este mai mică decât unu, întregul șir se apropie de zero. Un astfel de șir se numește convergent. Dacă, în schimb, valoarea absolută a rației este cel puțin unu, șirul nu se apropie de zero și se numește șir divergent. Pentru un șir convergent există apoi o formulă simplă pentru suma întregii serii (este valabilă doar pentru cel convergent, pentru că cel divergent nu are o sumă finită):

$S_{a} = \frac{a_{1}}{1 - q} .$

Formula pentru suma primilor i termeni ai progresiei geometrice a_n:

$S_{i} = a_{1} \cdot \frac{q^{i} - 1}{q - 1}$

Deducerea formulei o poți citi pe Wikipedia.

Graficul unei progresii geometrice, în afară de cazul în care rația este egală cu unu sau cu zero, este o mulțime de puncte izolate care nu se află pe o dreaptă. Graficul tipic al unei progresii geometrice arată așa:

$Graficul progresiei geometrice cu rația q=1{,}2 și a_1=1{,}2$

Dacă rația este negativă, graficul va avea două ramuri:

$Graficul progresiei geometrice cu rația q=-1{,}2 și a_1=-1{,}2$

« Anterior: Analiză matematică

Următor: Limita unui șir »