Denklem Sistemleri

Uygulamada çoğu zaman tek bir denklemi değil, aynı anda iki denklemi (hatta daha fazlasını) birlikte çözmemiz gerekir. Önce böyle bir denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle nasıl çözeceğimizi göstereceğiz. Denklem sistemlerini matrislerle çözmek için doğrusal denklem sistemleri makalesine geç.

Temel Bilgiler

Denklem sistemi, birlikte çözdüğümüz birden fazla denklemdir. Denklem sisteminde genellikle birden fazla değişken de bulunur; tüm değişkenlerin yerine yazdığımızda bütün denklemlerin sağlandığı bir sayı kombinasyonunu bulmaya çalışırız.

Denklem sistemine örnek olarak şu sistemi verebiliriz:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

Bu sistemin çözümü, a ve b değişkenlerinin yerine yazdığımızda iki denklemin de sağlandığı bir sayı ikilisi (ya da ikililerin kümesi) olmalıdır. Göz kararı bile görebiliriz: a + b = 0 denkleminin sağlanması için a değişkeni −b’ye eşit olmalıdır. Bunu bildiğimizde ikinci denklemden kolayca a = 10 ve b = −10 olduğunu görürüz. Yerine yazınca şunu elde ederiz:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Göz kararı çözümü bitirdik; şimdi denklem sistemlerini çözmek için birkaç işe yarar algoritmaya geçelim.

Yerine Koyma Yöntemi

Yerine koyma yönteminde bir denklemde bilinmeyenlerden birini yalnız bırakırız ve çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyarız. Başlamak için bir sisteme ihtiyacımız var. Örneğin şuna:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Bu, iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan basit bir sistemdir. Amacımız x ve y değişkenlerini, iki denklem de sağlanacak biçimde bulmaktır. Birinci denklemden y’yi yalnız bırakırız. Yani yalnızca birinci denklemi alıp y’yi yalnız bırakırız.

$4 x + 2 y = 6$

İlk olarak 4x’i çıkarırız:

$2 y = 6 - 4 x$

2’ye böleriz:

$y = 3 - 2 x$

Artık y’nin neye eşit olduğunu biliyoruz. Bu sonucu ikinci denklemde y değişkeninin yerine yazabiliriz. Yani ikinci denklemde y yerine 3 − 2x yazarız. Bununla ne elde ederiz? İkinci denklemde iki değişken yerine yalnızca bir değişken kalır, çünkü y yerine yalnızca x değişkenini içeren bir ifade yazmış oluruz. Yani yerine yazalım:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Şimdi parantezi açalım ve toplanabilecek terimleri toplayalım:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Artık x’in değerini biliyoruz: 2’ye eşit. Geriye y’nin değerini hesaplamak kalıyor. Bunu, bildiğimiz x değerini iki değişkeni de — hem x’i hem y’yi — içeren bir denklemde yerine yazarak yaparız. Örneğin en baştaki denklemi seçebiliriz. Şöyle yerine yazarız:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Böylece sistemi çözmüş olduk. Denklem sisteminin tek bir çözümü vardır: x = 2 ve y = −1. Bu sonucu kontrol etmek istersen iki denklemde de yerine yazman yeter. Önce birinci denklemde yerine yazalım:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

Şimdi ikinci denklemde yerine yazalım:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Yok Etme Yöntemi

Ben bu yöntemi daha çok seviyorum, ama elbette bu, somut örneğe bağlıdır. Her zaman uygun olmaz. Yok etme yönteminin ilkesi şudur: Denklem sistemlerini çözerken denklemleri toplamak bir denk işlemdir. Denklemleri toplarken bir denklemin sol tarafını diğer denklemin sol tarafıyla, sonra da denklemlerin sağ taraflarını birbiriyle toplarız. Genel olarak şöyle bir denklem sistemi ele alalım:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Bu denklemleri toplarsak şöyle tanımlanan tek bir denklem elde ederiz:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Sol tarafları kendi aralarında, sağ tarafları kendi aralarında topladık. Peki amacımız ne olacak? İki denklemi topladığımızda iki değişken kalıyorsa pek işimize yaramaz. Bu yüzden iki denklemi topladıktan sonra değişkenlerden birinin yok olmasını, yani birbirini götürüp sıfırlamasını isteriz. Yani f ya da g fonksiyon çiftlerinden birinin toplamının sıfır olmasını isteriz:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Buna nasıl ulaşırız? Denklem sistemi, sıradan denklem türlerinden bildiğimiz denk işlemleri uygulayabileceğimiz sıradan denklemlerden oluşur. Bu yüzden denklemlerden birini bir sayıyla çarpabiliriz ve denklemin geçerliliği değişmez. Önceki denklem sistemini yok etme yöntemiyle çözmeyi deneyelim. Verilenler yine aynı:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Denklemleri hemen toplarsak iki değişken de kalır:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Bu yüzden önce bazı düzenlemeler yapmamız gerekir. y değişkeninin “yok olmasını” sağlamaya çalışacağız. Bunun için iki denklemde y’nin önündeki katsayıların işaret dışında eşit olmasını, işaretlerin ise zıt olmasını isteriz. Yani en küçük ortak katı arıyoruz; bu da 6’dır. Basit bir yol, katsayıları çarpmaktır: 2 çarpı 3 eşittir 6 — yani 6 sayısı kesinlikle iki sayıya da bölünür (not: bu yol en küçük ortak katı garanti etmez, ama iki katsayıya da bölünen bir sayı bulur).

Şimdi her denklemde y’nin önüne 6 getirmeye çalışıyoruz. Bu yüzden birinci denklemi 3 ile, ikinci denklemi 2 ile çarparız:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

Şunu elde ederiz:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Şimdi denklemleri toplarız:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Böylece bir bilinmeyenli tek bir denklem elde ettik; bunu artık kolayca çözebiliriz:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Daha önce kullandığımız yerine koyma yöntemindeki sonucun aynısını elde ettiğimizi görüyoruz. Şimdi yine x’i bir denklemde yerine yazarsak y = −1 sonucunu buluruz. Doğrulama da tamamen aynı şekilde yapılır.

Çözüm Sayısı

Bir denklem sisteminin yalnızca tek bir çözümü olmak zorunda değildir. Sonsuz sayıda çözümü olabilir ya da hiç çözümü olmayabilir. Bunun ne zaman olduğunu kısaca söyleyelim. İki bilinmeyenli iki denklemimiz varsa ve bu denklemlerden birini diğeriyle ifade edebiliyorsak, yani ona bazı denk işlemler uygulayarak elde edebiliyorsak, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Örnek olarak şu sistemi verelim:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Birinci denklemi 2 ile çarparsak ikinci denklemi tam olarak elde ettiğimizi görüyoruz. Yani ikinci denklem sistem hakkında bize hiçbir “yeni bilgi” vermez, dolayısıyla pratikte gereksizdir. Bunun sonucunda

$x + y = 2$

denkleminin her çözümü aynı zamanda sistemin tamamının da çözümüdür. Örneğin (1, 1) ya da (−3, 5) ikilisi hem birinci denklemin hem de sistemin tamamının çözümüdür.

Sistemin tek bir çözümü bile olmaması ise sistemde aynı anda sağlanamayan, birbiriyle çelişen denklemler olduğunda gerçekleşir. Örneğin:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

x + y toplamının aynı anda hem 2’ye hem de 4’e eşit olması mümkün değildir; bu yüzden sistemin çözümü yoktur. Birkaç örnek daha çözelim:

Birinci Örnek

Aşağıdaki iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan sistemi çöz:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Sisteme şöyle bir göz atınca bunun yok etme yöntemi için uygun olduğunu görürüz. İkinci denklemde x’in katsayısı birinci denklemdekinin 2 katı, y’nin katsayısı ise 3 katıdır. Yani birinci denklemi eksi 2 ile ya da eksi 3 ile çarpıp denklemleri toplamamız yeter. Örneğin x değişkenini yok etmeyi deneyelim; bu yüzden birinci denklemi −2 ile çarparız. Şunu elde ederiz:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Bu iki denklemi toplarız ve şunu elde ederiz:

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Sistemin ilk sonucunu bulduk. Bu sonucu bir denklemde yerine yazarız; yine en baştaki denklemde yerine yazabiliriz:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Böylece denklem sisteminin çözümünü bulduk: x = 9 ve y = −14.

İkinci Örnek

Aşağıdaki iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan sistemi çöz:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Bu biraz korkutucu görünüyor, ama çözülebilir. Her şeyden önce parantezleri açmamız gerekir; onsuz pek yol alamayız.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Şimdi denklemleri daha kullanışlı bir biçime getirelim: değişkenleri denklemin sol tarafına, sabit terimleri sağ tarafına geçirelim ve sadeleşen terimleri çıkaralım.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Böylece o çirkin görünen denklemlerden oldukça kullanışlı bir denklem sistemi elde ettik ve klasik yöntemlerden birini uygulayabiliriz. Örneğin ikinci denklemi 2 ile çarpıp birinci denklemle toplayabiliriz. İkinci denklemi 2 ile çarpınca şunu elde ederiz:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Şimdi iki denklemi klasik yok etme yöntemiyle toplarız:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Harika, bir sonucu artık biliyoruz. Bu sonucu denklemlerden birinde yerine yazıp y’yi hesaplarız. Örneğin 2x− 3y = −13 denkleminde yerine yazabiliriz ve şunu elde ederiz:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Artık denklem sisteminin çözümünün tamamını biliyoruz — sistem x = 4 ve y = 7 için sağlanır.

« Önceki: Trigonometrik Eşitsizlikler

Sonraki: Sayılar »