Medyan

Medyan (ortanca), basitçe söylersek, bir değerler topluluğunu öyle böler ki değerlerin yarısı medyandan küçük, diğer yarısı medyandan büyük olur. Gerçekte işler biraz daha karmaşıktır ve şimdi buna bakacağız.

Medyan Nedir

Medyanda, ana kütledeki eleman sayısının çift mi, tek mi olduğu önemlidir. Eleman sayısı tek olduğunda tüm değerleri en küçükten en büyüğe sıralarız ve tam ortadaki değer medyan olur.

Örnek olarak 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1 sayılarından oluşan topluluğu alalım. Toplam 7 sayı var, yani sayı tek. Sayıları sıraladığımızda 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75 dizisini elde ederiz. Me ile göstereceğimiz medyan, ortadaki eleman olan 3 sayısıdır. Elemanları x_i olan ve en küçükten en büyüğe sıralanmış, büyüklüğü |X| = N olan bir X ana kütlesi için genel formül şöyle olur:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}$$

Bunu X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] değer topluluğumuz için denersek şunu elde ederiz:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

Eleman sayısı çift olduğunda küçük bir düzeltme yapmamız gerekir, çünkü çift sayıda değerden oluşan dizinin “ortadaki elemanı” yoktur. Ana kütlemizden bir tane 2’yi çıkarırsak Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75] ana kütlesini elde ederiz ve bunun ortada tek bir elemanı yoktur. 3 ve 4 sayılarının ikisi de “eşit derecede ortadadır”. Bu durumda ortadaki iki eleman alınır ve medyan, bunların aritmetik ortalaması olur. Yani Y değerlerinin medyanı (3 + 4)/2 = 3,5 olur.

Sıralanmış x_i elemanlarından oluşan, büyüklüğü N olan X değerleri için genel formül şöyle olur:

$$\text{Me}(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75] değerlerinin medyanını bu şekilde hesaplarsak (elemanları y_i ile gösterelim) şunu elde ederiz:

$$\text{Me}(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Medyanın Avantajları

Medyan, ortalamanın aksine, değerler arasında aşırı uç değerler olduğunda sorun yaşamaz. Yukarıdaki X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] örneğinde ortalama 92 / 7 ≈ 13,1429 çıkar. Yedi elemandan altısı bundan çok daha küçük olduğu için bu biraz tuhaf bir değerdir. Medyan ise makul bir sayı olan üçtür.

Medyan ayrıca bir şekilde sıralanabilen her değer için kullanılabilir. Ortalamayı ise yalnızca toplayıp ardından bölebildiğimiz değerler için alabiliriz. Örneğin giysi bedenini düşünelim: Bedenler genellikle XS, S, M, L, XL, XXL gibi bir sıra oluşturur. Bu değerlerden ortalama almak zordur, çünkü XS ile L’yi ya da XL ile L’yi nasıl toplayacağımız belli değildir; sonunda nasıl bölüneceği de belli değildir. Ancak bir topluluk S, S, M, L, L, L, XXL bedenlerinde giysi aldıysa medyanın L bedeni olduğunu söyleyebiliriz. Beden sayısı çift olduğunda sorun çıkabilir, çünkü o zaman aritmetik ortalama alamayız. Bu durumda genellikle ortadaki iki değerden birini medyan olarak seçeriz.