Vektörlerin Doğrusal Birleşimi

Doğrusal birleşim, belirli bir vektör kümesinden yalnızca toplama ve çarpma kullanarak yeni bir vektör oluşturma yöntemidir.

Doğrusal Birleşim Nedir

Bir vektör uzayı V verilsin. Uzayın vektör toplama işlemine göre kapalı olduğunu biliyoruz; yani x, y ∈ V iki vektör için her zaman x + y ∈ V olur. İki vektörü toplarsak yine aynı uzaydan bir vektör elde ederiz. Aynısı skalerle çarpma için de geçerlidir. Bir k ∈ ℝ varsa k · x ∈ V olur.

İki işlemi birleştirebiliriz: k, l ∈ ℝ alalım. k · x + l · y ifadesi bize yine yeni bir vektör verir; ona v diyelim ve bu v vektörü de yine V uzayında yer alır. Neden? k · x ∈ V ve aynı zamanda kesinlikle l · y ∈ V. V uzayının iki vektörünü topluyoruz; tanım gereği V uzayından bir vektör elde etmemiz gerekir.

Böylece v vektörünün, x ve y vektörlerinin doğrusal birleşimi olduğunu söyleyebiliriz. Genel olarak: x₁, x₂, …, x_n vektörleri ve katsayı adını verdiğimiz k₁, k₂, …, k_n gerçek sayıları varsa, bu vektörlerin doğrusal birleşimi şu şekilde elde ettiğimiz v vektörüdür:

$$\mathbf{v}=k_1\cdot {\mathbf{x}}_1+k_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +k_n\cdot {\mathbf{x}}_n.$$

Örnek: ℝ² uzayını ve ondan iki vektör alalım: (2, 3) ve (0, 8). Şimdi katsayıları seçelim: k₁ = 2, k₂ = 5. Bu vektörlerin k₁, k₂ katsayılarıyla doğrusal birleşimi şu vektörü verir:

$$2\cdot (2,3)+5\cdot (0,8)=(4,6)+(0,40)=(4,46)$$

ℝ² uzayının elemanı olan (4, 46) vektörünü elde ettiğimizi görüyoruz. Başka katsayılar seçseydik başka bir vektör elde ederdik. k₁ = 0, k₂ = −1 için şunu buluruz:

$$0\cdot (2,3)-1\cdot (0,8)=(0,0)+(0,-8)=(0,-8)$$

Doğrusal Bağımlı Vektörler

Doğrusal birleşimlerle doğrusal bağımlı ve doğrusal bağımsız vektörler de ilişkilidir. Bunu bir örnekle gösterelim: ℝ² vektör uzayını ve bu uzaydan bir Q vektör kümesini alalım:

$$Q=\{(1,1),(2,4),(3,5),(10,18)\}$$

Şimdi şu soru ilgimizi çekiyor: Bu dört vektörden birini diğer üç vektörün doğrusal birleşimi olarak yazabilir miyiz? Vektörlere bakınca (3, 5) vektörünün basitçe ilk iki vektörün toplamına eşit olduğunu görürüz.

$$(1,1)+(2,4)=(3,5)$$

Yani (3, 5) vektörü, (1, 1) ve (2, 4) vektörlerinin doğrusal birleşimidir. Eğlenceli olsun diye bu vektörü Q kümesinden çıkaralım. Yeni bir Q₁ kümesi elde ederiz:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

Bu kümede diğerlerinin doğrusal birleşimi olan başka bir vektör var mı? Evet, (10, 18) vektörü, k₁ = 2, k₂ = 4 için ilk iki vektörün doğrusal birleşimidir:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)=(2,2)+(8,16)=(10,18)$$

Bu vektörü de çıkaralım:

$$Q_2=\{(1,1),(2,4)\}$$

Yine soralım: Vektörlerden birini ötekinin birleşimi olarak elde edebilir miyiz? Edemeyiz; (1, 1) vektörünün hiçbir katı (2, 4) vektörüne eşit olmaz.

Hiçbir vektörü diğerlerinin doğrusal birleşimi olarak yazamadığımız bir vektör kümesi elde ettik. Böyle bir kümeye doğrusal bağımsız vektör kümesi denir. Bir vektör, diğerlerinin birleşimi olarak yazılabiliyorsa ona doğrusal bağımlı vektör deriz. Yazılamıyorsa doğrusal bağımsız vektör deriz.

Sıfır Vektör

Sıfır vektör 0 doğrusal bağımlılıkta önemli bir rol oynar. Q₁ vektör kümesine ve ℝ² uzayına geri dönelim. Q₁ kümesi şöyledir:

$$Q_1=\{(1,1),(2,4),(10,18)\}$$

ve (10, 18) vektörünün bağımlı olduğunu biliyoruz, çünkü 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) = (10, 18). Peki 2 · (1, 1) + 4 · (2, 4) ifadesinden (10, 18) vektörünü çıkarırsak ne olur? Yani onun −1 katını eklersek? Şöyle görünürdü:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)$$

Bu ifade kesinlikle sıfır vektöre eşit olurdu:

$$2\cdot (1,1)+4\cdot (2,4)-(10,18)=(0,0)$$

Bundan ilginç bir özellik çıkarabiliriz. x₁, x₂, …, x_n vektör kümesi doğrusal bağımlıysa

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

eşitliğini sağlayan a₁, a₂, …, a_n gerçek katsayıları vardır. Üstelik a_i katsayılarından en az biri sıfırdan farklı olmalıdır. Bütün katsayılara sıfır koysaydık eşitlik her zaman doğru olurdu ve her vektör kümesinin doğrusal bağımlı olduğu sonucu çıkardı; bu da kesinlikle saçmadır. Yukarıdaki eşitliğin gerekçesi basittir. Örneğin x₁ vektörü doğrusal bağımlıysa bu şu anlama gelir:

$$a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n={\mathbf{x}}_1$$

Bu eşitliğe −x₁ eklemek yeter ve şunu elde ederiz:

$$-1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

Vektörlerin Bağımlı Olup Olmadığı Nasıl Anlaşılır

x₁, x₂, …, x_n vektörleri verilmişse ve bunların doğrusal bağımlı mı bağımsız mı olduğunu öğrenmek istiyorsak, yukarıdaki

$$a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+a_2\cdot {\mathbf{x}}_2+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n=\mathbf{0}$$

denklemini çözmek, yani a_i katsayılarını bulmak yeter. ℝ³ uzayında çalışıyorsak şu vektörlere sahip olabiliriz: (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5). Bağımlı olup olmadıklarını öğrenmek istediğimiz için şu denklemi çözeriz:

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Bu denklemi vektörlerin toplama ve çarpma tanımına göre açarız. a₁ · (1, 2, 3) = (a₁, 2a₁, 3a₁) vb. olduğunu biliyoruz. Şöyle açarız:

$$(a_1,2a_1,3a_1)+(2a_2,a_2,7a_2)+(a_3,-4a_3,5a_3)=(0,0,0)$$

Şimdi toplamayı açalım. Toplamayı her zaman aynı bileşenler üzerinde yaparız; yani birinci vektörün birinci bileşeni a₁ ile ikinci vektörün birinci bileşeni 2a₂ ve üçüncü vektörün birinci bileşeni a₃ toplanır ve bunların hepsi sıfır vektörün birinci bileşenine, yani sıfıra eşit olmalıdır. İkinci ve üçüncü bileşen için de aynısı geçerlidir. Böylece bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz:

$$\begin{array}{}{a}_1& +& 2a_2& +& a_3& =& 0\\ 2a_1& +& a_2& +& -4a_3& =& 0\\ 3a_1& +& 7a_2& +& 5a_3& =& 0\end{array}$$

Bu sistemi olağan bir matris olarak yazabiliriz:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)$$

Bu matrisin sütunlarında aslında asıl vektörlerin bulunduğuna dikkat et. Matrisin birinci sütununda (1, 2, 3) vektörü, üçüncü sütununda (1, −4, 5) vektörü vardır, vb. Hesaplarken bu karmaşık düzenlemelerin hepsini yapmana gerek yok; bağımlı olup olmadığını öğrenmek istediğin vektörleri sütunlara dizip bir sıfır sütunu ekleyerek bu matrisi oluşturabilirsin.

Sistemi Gauss eliminasyon yöntemiyle çözebiliriz. Matrisi basamak biçimine getirelim. Önce ikinci satıra birinci satırın −2 katını, üçüncü satıra birinci satırın −3 katını ekleriz:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& -4& 0\\ 3& 7& 5& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Şimdi ikinci satıra üçüncü satırın 3 katını ekleyebiliriz:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -6& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Bundan sonrasını hesaplamamız bile gerekmez; bir satırı sıfırlamayı başardık ve bu, vektörlerin doğrusal bağımlı olduğunu gösterir. Yine de sistemi sonuna kadar çözebiliriz. a₃ = t parametresini seçelim. Matrisin son satırı olan

$$a_2+2a_3=0$$

denkleminden a₃ = t yazarak şu denklemi elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}{a}_2+2t& =& 0\\ a_2& =& -2t\end{array}$$

Şimdi bu değerleri birinci denklemde, yani matrisin birinci satırında yerine koyalım:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1+2a_2+a_3& =& 0\\ a_1-4t+t& =& 0\\ a_1& =& 3t\end{array}$$

Böylece a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t buluruz. t yerine örneğin t = 3 koyarsak belirli bir çözüm elde ederiz: a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Bu katsayıları asıl denklemde yerine koyabiliriz

$$a_1\cdot (1,2,3)+a_2\cdot (2,1,7)+a_3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

ve şunu elde ederiz:

$$9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)=(0,0,0)$$

Sol tarafı düzenleyelim:

$$\begin{array}{rcl}9\cdot (1,2,3)+(-6)\cdot (2,1,7)+3\cdot (1,-4,5)& =& (0,0,0)\\ (9,18,27)+(-12,-6,-42)+(3,-12,15)& =& (0,0,0)\\ (9-12+3,18-6-12,27-42+15)& =& (0,0,0)\\ (0,0,0)& =& (0,0,0)\end{array}$$

Katsayıları örneğin a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3 seçersek (1, 2, 3), (2, 1, 7), (1, −4, 5) vektörlerinden sıfır vektörü elde ettiğimizi görürüz. Sistemin yalnızca tek, yani sıfır çözümü olsaydı vektörler doğrusal bağımsız olurdu.