Sætte uden for parentes

Før vi går i gang med at sætte uden for parentes, gennemgår vi at gange ind i parentesen, for det hænger meget tæt sammen med at sætte uden for parentes. Man kunne endda sige, at det at sætte uden for parentes er den helt modsatte operation af at gange ind i parentesen.

At gange ind i parentesen

At gange ind i parentesen er en enkel operation, som vi viser på et eksempel: Lad os beregne udtrykket 3 · (5 + 8). Vi har to måder at gå frem på. Vi kan lægge tallene i parentesen sammen og få 3 · 13, fordi 5 + 8 = 13.

Den anden måde er, at vi ganger ind i parentesen. Det betyder, at vi tager tallet foran parentesen, tretallet, og ganger begge tal i parentesen med det. Plustegnet i parentesen bliver stående. Vi får således:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Begge fremgangsmåder fører til samme resultat: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Hvorfor virker det at gange ind i parentesen

Hvorfor kan vi tillade os denne fremgangsmåde, hvorfor virker det at gange ind i parentesen? Lad os forestille os et produkt som en udskrevet sum. Hvis vi for eksempel skriver 3 · 7, siger vi dermed, at vi vil lægge tallet syv sammen tre gange, altså 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

På samme måde kan vi udskrive et eksempel med en parentes: 3 · (5 + 8) er det samme som (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Fordi rækkefølgen ikke betyder noget ved addition, kan vi fjerne parenteserne og flytte femmerne og ottetallerne ved siden af hinanden sådan: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. Og her kan vi allerede se, at dette udtryk kan skrives med multiplikation sådan: 3 · 5 + 3 · 8, og det er netop det, vi gjorde, da vi gangede ind i parentesen.

Eksempler på at gange ind i parentesen

1. Gang ind i parentesen i 5 · (4 + 7). Igen ganger vi bare tallene i parentesen med fem og får 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Gang ind i parentesen i 6 · (x + 4). Lad os ikke blive bange for den ubekendte, men bare gange den med seks ligesom tallet. Vi får: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Gang ind i parentesen i x · (4 + 173). Nu har vi den ubekendte foran parentesen, så vi ganger begge tal inde i parentesen med x. Vi får x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Gang ind i parentesen: 4x · (2x + 7). Nu har vi den ubekendte både foran parentesen og inde i den, og desuden har vi et mere kompliceret udtryk foran parentesen. Det gør igen ikke noget, vi ganger indholdet af parentesen med 4x sådan: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Det simple tilfælde

At sætte uden for parentes er den modsatte fremgangsmåde af at gange ind i parentesen. I begyndelsen har vi for eksempel udtrykket 10x + 5. Hvis vi nu finder et tal, som vi på en fornuftig måde kan dividere begge led med, kan vi sætte dette tal uden for parentes. I vores udtryk bliver det tallet 5, fordi 10x / 5 = 2x og 5 / 5 = 1. Vi kan således skrive, at

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Når vi omvendt ganger ind i parentesen 5 · (2x + 1), får vi igen 10x + 5. Formålet med at sætte uden for parentes er som regel at forenkle det givne udtryk eller få det på produktform, så vi kan forkorte det i en brøk.

At sætte den ubekendte uden for parentes

Ofte sætter man selve den ubekendte uden for parentes, vi behøver ikke kun at sætte et tal uden for. Så hvis vi har udtrykket 3x² + 7x, kan vi sætte x uden for parentes, dvs. vi dividerer begge led med x, sætter en parentes og ganger parentesen med x. Vi får 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Vi prøver som regel at sætte »så meget som muligt« uden for parentes, så hvis vi havde udtrykket 8x² + 12x, kan vi nøjes med at sætte x uden for parentes og få 8x² + 12x = x · (8x + 12), men vi kan se, at vi også kunne sætte tallet 4 uden for parentes inde i parentesen. Det kan vi gøre nu, bagefter, og får: x · (4 · (2x + 3)). De ydre parenteser kan vi fjerne og får: 4x · (2x + 3).

Til samme resultat ville vi dog være kommet, hvis vi fra det oprindelige udtryk 8x² + 12x havde sat udtrykket 4x uden for parentes med det samme. Hvis vi skrev det ud, ville vi få

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

At sætte mere komplicerede udtryk uden for parentes

Indtil nu har vi kun sat noget uden for parentes i udtryk, som indeholder to led. Men vi kan også sætte uden for parentes i længere udtryk. Fra 7x³ + 5x² + 2x kan vi for eksempel sætte x uden for parentes og få x · (7x² + 5x + 2).

Vi behøver heller ikke altid kun at sætte et pænt tal uden for parentes, vi kan sætte hvad som helst uden for. Fra udtrykket 6x + 7 kan vi for eksempel sætte tallet 2 uden for parentes, men vi får et grimt resultat, fordi vi skal dividere begge led med to. For 6x går det fint, fordi 6x / 2 = 3x, men ved tallet 7 bliver det ikke særlig pænt: 7 / 2 = 3,5. Vi får således det resulterende udtryk: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Løste eksempler

• Sæt en fælles faktor uden for parentes i 25x + 45. Ved første øjekast kan man se, at vi kan sætte tallet 5 uden for parentes, så vi får 5 · (5x + 9).

• Forenkl brøken

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Først sætter vi x uden for parentes i brøkens tæller. Vi får således x · (3x + 7) i tælleren. Nu kan vi forkorte x i hele brøken.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Sæt en fælles faktor uden for parentes i −2x² − 8x. Her har vi for første gang negative tal. Det gør slet ikke noget, ligesom vi satte positive tal uden for parentes, kan vi sætte negative tal uden for parentes. Vi kan således straks sætte −2x uden for parentes. Vi får

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$