Distributivitet

Distributivitet er en egenskab ved to binære operationer, for eksempel addition og multiplikation. Distributivitet fortæller os i tilfældet multiplikation og addition, at vi kan »gange ind i parentesen«. Som eksempel, hvis vi har udtrykket

$$2\cdot (3+4)$$

så ved vi, at vi kan gange ind i parentesen, og dermed får vi et andet udtryk

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

Begge udtryk giver det samme resultat, nemlig tallet 14. Denne udregning kunne vi lave, fordi operationen multiplikation er på mængden af reelle tal distributiv over operationen addition. Generelt gælder det altså, at hvis vi har to operationer · og +, så siger vi, at operationen · er distributiv over operationen + på mængden M, hvis der gælder

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

for alle a, b, c ∈ M. Et andet eksempel på distributive operationer er for eksempel operationerne fra udsagnslogikken, konjunktion ∧ og disjunktion ∨. Forestil dig, at vi har udsagnene A, B og C. Hvis vi siger »A og samtidig (B eller C)«, skriver vi det som

$$A\wedge (B\vee C)$$

Og fordi operationen konjunktion er distributiv over operationen disjunktion, gælder samtidig

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Altså med ord: »(A og samtidig B) eller (A og samtidig C)«. For at have et eksempel på operationer, som ikke er distributive, kan vi tage for eksempel addition og subtraktion:

$$10-(5+3)$$

Det rigtige resultat er selvfølgelig 2, for efter at have lagt parentesen sammen får vi 10 − 8, og det er 2. Hvis vi anvendte reglen om distributivitet på denne beregning, ville vi få udtrykket:

$$(10-5)+(10-3)$$

Efter at have lagt parenteserne sammen ville vi have 5 + 7, og det er 12. Vi ser, at vi har fået et forkert resultat, operationerne addition og subtraktion er altså ikke distributive.

Flere eksempler: nogle operationer med matricer opfylder den distributive lov. Vektorer i et vektorrum gør det også. Operationerne i et legeme skal være distributive.