Lineær ligning

En lineær ligning er en ligning, som vi kan omforme til formen ax + b = 0, hvor a ≠ 0. Et konkret eksempel kunne se sådan ud: 2x + 4 = 0. Løsningen til denne ligning er tallet −2, hvilket nok kan udledes helt logisk. Hvis tallene var lidt større, ville udledningen ikke være så enkel, så det kræver en mere konkret fremgangsmåde.

Standardform for en lineær ligning

Mere præcist er der tale om en ligning med én ubekendt x, som ved hjælp af ækvivalente omformninger kan bringes på formen ax + b = 0, hvor a ≠ 0. Den ubekendte er ikke opløftet i potens, ikke under et rodtegn osv. Ligninger med den ubekendte i brøkens nævner kan kun bringes på denne form under forudsætning af, at nævneren ikke er nul. Derfor løser vi dem for sig, se lineær ligning med en ubekendt i nævneren. Se eksempler på forskellige lineære ligninger:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Som du kan se, kan en lineær ligning se vidt forskellig ud. For at de er lette at løse, skal vi først bringe dem på én fælles form, som vi kalder standardformen:

$$ax+b=0,$$

hvor x er den ubekendte, og symbolerne a og b er vilkårlige reelle tal, som vi kalder ligningens koefficienter. Tallet a må ikke være nul, altså a ≠ 0. Udtrykket ax kalder vi det lineære led, udtrykket b kalder vi konstantleddet.

Når vi løser en lineær ligning, kommer vi ikke uden om ækvivalente omformninger, altså omformninger, der ikke ændrer ligningens løsninger. Uden dem kan en mere sammensat ligning ikke løses. Ligningen kan vi bringe på standardform enten ved at omforme selve de udtryk, der indgår i ligningen, eller netop ved ækvivalente omformninger af ligninger.

Lad os vende tilbage til eksemplerne ovenfor. Den første ligning, 2x + 7 = 0, har allerede standardformen, så vi ser direkte koefficienterne a = 2 og b = 7. Ved den anden ligning, x − 2 = 74, er det ikke så let. Ved en ækvivalent omformning lægger vi tallet −74 til begge sider (eller med andre ord trækker tallet 74 fra begge sider) og får x − 76 = 0. Det er allerede standardformen, med koefficienterne a = 1 og b = −76.

Den tredje ligning er langt fra standardformen, men også den kan vi klare. Først »laver« vi nul på højre side: vi lægger udtrykket 12x til begge sider. Højre side bliver dermed nul, fordi (−12x) + 12x = 0. Hele ligningen kommer til at se sådan ud:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Nu mangler vi bare at fjerne parenteserne og lægge leddene med x sammen.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Denne lineære ligning er på standardform, og dens koefficienter er a = −8 og b = 3.

I den sidste ligning skal vi af med brøkerne. Hele ligningen ganger vi derfor med tallet 72, som er deleligt med alle nævnerne:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

Nu forkorter vi brøkerne:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

På venstre side lægger vi sammen, på højre side ganger vi:

$$39x=405x+72$$

Tilbage er det sidste trin: vi trækker 405x og 72 fra begge sider, og ligningen er på standardform:

$$-366x-72=0$$

Vi fik altså koefficienterne a = −366 og b = −72.

Sådan løser du en lineær ligning

Hvis vi har en lineær ligning på standardform, er den let at løse. Lad os vise det på et eksempel: 3x − 18 = 0. Fra hvilket tal skal vi trække 18, for at vi får nul? Fra tallet 18 selv, selvfølgelig. Så for at udtrykket 3x − 18 skal være lig med nul, skal udtrykket 3x være lig med 18, så får vi 18 − 18 = 0. Hvornår er udtrykket 3x lig med 18? Netop når der gælder, at x = 6, fordi 3 · 6 = 18.

Hvordan udleder vi heraf en generel fremgangsmåde? Først skal vi finde ud af, hvad det lineære led ax skal være lig med. Det gør vi ved at flytte konstantleddet over på ligningens højre side, altså lægge −b til ligningen. Så får vi ligningen på formen ax + b − b = −b, hvilket er det samme som ax = −b. I det foregående eksempel ville vi således få 3x − 18 + 18 = 18, altså 3x = 18. Husk, at tallet b var lig med b = −18, så når vi lægger −b til, lægger vi −(−18) til, og det er lig med +18.

Ligningen har vi på formen ax = −b. Hvordan får vi direkte x? I eksemplet ledte vi efter det x, som vi får 18 af, når vi ganger det med tre. Hvad gjorde vi i virkeligheden? Vi dividerede 18/3 = 6. Altså tog vi udtrykket på højre side (−b) og dividerede det med værdien a, i eksemplet med tre. Af ax = −b får vi dermed

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Hele fremgangsmåden anvendt på det første eksempel ser sådan ud:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Geometrisk betydning

Hvis vi bringer en lineær ligning på standardform, får vi på venstre side en lineær funktion. Grafen for en lineær funktion er en linje. Fordi standardformen for en lineær ligning ser sådan ud: ax + b = 0, er ligningens løsninger alle de punkter, hvor linjen (grafen for den lineære funktion) skærer x-aksen (som samtidig er grafen for funktionen f(x) = 0, altså højresiden).

Vi fandt for eksempel ud af, at løsningen til ligningen 3x − 18 = 0 er x = 6. Hvad betyder det? At grafen for funktionen 3x − 18 skærer x-aksen i punktet x = 6.

Lad os prøve at løse ligningen 5x + 2 = 2x − 7 grafisk. Hvordan kan vi gå frem? Vi kan omforme ligningen til standardform, altså lægge −2x til, hvorved vi får 3x + 2 = −7, og derefter lægge 7 til: 3x + 9 = 0. Nu tegner vi grafen for den lineære funktion y = 3x + 9 og finder ud af, hvornår den skærer x-aksen.

Den anden måde er slet ikke at omforme ligningen, men lade graferne for funktionerne på begge sider af ligningen tegne. Altså tegner vi graferne for funktionerne f(x) = 5x + 2 og g(x) = 2x − 7.

Disse to linjer skærer hinanden i ét punkt, markeret som A. Hvilken x-koordinat har dette punkt A? Igen x = −3. Den grafiske løsning til ligningen 5x + 2 = 2x − 7 er altså x-koordinaten til skæringspunktet mellem graferne for funktionerne på venstre og højre side.

Løste eksempler

Første eksempel: Vi prøver at løse ligningen 7x − 14 = 0. Situationen er enkel, ligningen er på standardform, så vi anvender bare fremgangsmåden:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

Andet eksempel: Løs ligningen 2x + 10 = 0. Ligningen er igen på standardform, du skal bare passe på, at b er positivt, og at du derfor får et negativt tal på højre side efter omformningen:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Tredje eksempel: Løs ligningen 15 − 3x = 0. Ligningen er næsten på standardform, vi skal bare have den ubekendte x først. Så har vi ligningen på formen −3x + 15 = 0. Igen skal du passe på, at vi her har et minus foran det lineære led, hvilket vi ikke har haft hidtil. Omformningerne bliver dog helt de samme:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

Eksemplet kan vi også løse lidt anderledes, på en længere måde. I stedet for at dividere ligningen direkte med tallet −3 kan vi først gange ligningen med tallet −1, hvorved vi slipper af med begge minusser. Og derefter kan vi dividere ligningen med tre:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Fjerde eksempel: Løs den lineære ligning

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Denne ligning er allerede lidt mere sammensat, fordi vi har brøker i den. Først skal vi af med disse brøker. Det bedste er at gange hele ligningen med det mindste fælles multiplum af alle nævnerne. Vi har to nævnere, 4 og 2. Det mindste fælles multiplum er 4. Hvis du ikke gider regne det ud, kan du gange hele ligningen med produktet af alle nævnerne, altså 4 · 2 = 8, men det er ikke den anbefalede fremgangsmåde, for så gør du det sværere for dig selv i næste trin. Hvis vi ganger ligningen med fire, slipper vi af med brøkerne ved efterhånden at forkorte og forenkle dem:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Nu bringer vi ligningen på standardform: x − 12 = 0, og af denne ligning ser vi allerede, at x = 12.

Femte eksempel / tekstopgave: Vi har to brødre, Noah og Oscar. Oscar gik direkte i arbejde efter gymnasiet, mens Noah gik videre på universitetet, hvor han studerede i alt fem år. Oscar fik hver måned en løn på 30.000 kr. Selv om Noah blev uddannet i rekreologi med specialisering i at ligge i liggestol, lykkedes det ham at få et job i det offentlige, hvor han fik 40.000 kr. om måneden. Hvor længe går der, før Noah i alt har tjent lige så mange penge som Oscar? Altså for at præcisere: på fem år tjente Oscar 5 · 12 · 30.000 kr., mens Noah efter fem år ikke har tjent noget. Efter hvor mange måneder bliver denne værdi den samme?

Ud fra opgaveteksten kan vi sammensætte en lineær ligning på denne måde: variablen x skal repræsentere det antal måneder, vi leder efter, hvor x = 0 betyder nul måneder, siden Noah blev færdiguddannet.

Først opstiller vi en funktion, der bestemmer Noahs indtjening afhængigt af antallet af måneder. Hvis vi for eksempel er interesseret i Noahs indtjening efter seks måneder, regner vi simpelthen ud, at 40.000 · 6 = 240.000 kr. Generelt kan vi skrive, at efter x måneder har Noah i alt tjent 40.000 · x kr.

For Oscar ville det være tilsvarende: 30.000 · x, men vi skal desuden lægge det beløb til, som han tjente, mens Noah studerede. Noah studerede i fem år, så Oscar tjente under studiet 5 · 12 · 30.000 kr. Hele forskriften for Oscar bliver altså: 5 · 12 · 30.000 + 30.000 · x.

Disse funktioner sætter vi ind i en ligning, fordi vi er interesseret i, for hvilket x disse indtjeninger er lige store:

$$5\cdot 12\cdot 30.000+30.000\cdot x=40.000\cdot x$$

Ligningen omformer vi enkelt ved at flytte alle x over på den ene side af ligningen:

$$10000x=5\cdot 12\cdot 30.000$$

Og til sidst dividerer vi bare med 10.000:

$$x=5\cdot 12\cdot 3=180$$

Efter 180 måneder har de to tjent lige mange penge. Oscar tjente i løbet af Noahs studietid hele 5 · 12 · 30.000 = 1.800.000 kr., og i de følgende 180 måneder tjente han 30.000 · 180 = 5.400.000, hvilket i alt er 1.800.000 + 5.400.000 = 7.200.000 kr. Noah arbejdede kun i disse 180 måneder og tjente i den tid 40.000 · 180 = 7.200.000 kr. Vi ser, at efter fem års studier og yderligere 180 måneder har de begge virkelig tjent lige meget.

Flere eksempler

Løs følgende lineære ligning:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Først ganger vi parentesen ud:

$$2x-14=6$$

Nu lader vi udtrykket med den ubekendte stå på venstre side og flytter alt andet over på højre side:

$$2x=20$$

… og til sidst dividerer vi med to.

$$x=10$$

Løs ligningen

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Igen ganger vi først parenteserne ud:

$$9-3x+5x-10=0$$

Vi lægger sammen, hvad der kan lægges sammen, og flytter variablerne over på venstre side og resten over på højre side:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Til sidst dividerer vi hele ligningen med to:

$$x=\frac{1}{2}$$