Mængder

En mængde kan forstås som en samling af elementer. Enhver mængde indeholder altså et bestemt antal elementer, som kan være endeligt eller uendeligt. Den behøver heller ikke at indeholde noget element overhovedet, og så taler vi om den tomme mængde. Mængder betegner vi som regel med et stort bogstav, for eksempel M, og mængdens elementer med et lille bogstav m.

Hvad er en mængde

Mængden er et af de grundlæggende begreber i matematik, som en hel række andre ting defineres ud fra, så det er godt at gøre sig klart fra start, hvad en mængde er, så du ikke famler i det videre forløb.

En mængde er altså en samling af vilkårlige elementer. I matematik arbejder vi oftest med talmængder, altså mængder, hvis elementer er tal. Den klassiske måde at skrive en mængde på i matematik er sådan her:

$$M=\{1,2,3\}$$

Hermed har vi beskrevet en mængde ved navn »M«, som indeholder tre elementer: en, to og tre. Mængder skriver vi altid i tuborgparenteser, og næsten altid når du ser tuborgparenteser, er der tale om en mængde.

Hvad kan vi bruge mængder til? Mængder fortæller os ofte, hvilke elementer vi kan vælge imellem. I hverdagen kunne du for eksempel sige noget i stil med »Ida, skal vi lege en leg? Tænk på et tal fra et til fem.« Så har du afgrænset for Ida, hvilke tal hun kan vælge imellem. I matematik ville du bruge en mængde:

$$L=\{1,2,3,4,5\}$$

Og så kunne du sige til Ida »Ida, skal vi lege en leg? Tænk på et tal, som er med i mængden L.« Så ville legen helt sikkert straks blive sjovere. I matematik bruger vi tegnet ∈ til at skrive, at et element tilhører en mængde, og når det ikke gør, bruger vi ∉. Hvis vi vil sige, at en tilhører mængden L, men syv ikke gør, skriver vi det sådan her: 1 ∈ L og 7 ∉ L.

En mængde kan naturligvis være tom, og til det bruger vi enten skrivemåden P = {} eller mere enkelt P = ∅. Bemærk, at begge skrivemåder betyder »den tomme mængde«. Hvis du skrev det sådan her: P = {∅}, ville du skrive en mængde, som indeholder den tomme mængde. Det er ikke det samme som den tomme mængde.

Rækkefølge og dubletter

Vi siger ikke om en mængde, at dens elementer er ordnet på nogen bestemt måde. En mængde indeholder en uordnet samling af elementer. Hvis vi har to mængder A = {1, 2, 3} og B = {3, 2, 1}, siger vi, at de er ens. Rækkefølgen af elementerne i en mængde er simpelthen ligegyldig.

På samme måde er vi ikke interesserede i dubletter. Hvis en mængde indeholder flere ens elementer (flere ens tal), tæller vi altid kun én forekomst af det pågældende element. Hvis vi igen har disse to mængder A = {1, 1, 2, 2, 2} og B = {2, 1}, ville vi betragte dem som ens. Det gør ikke noget, at mængden A indeholder »flere« elementer, fordi den indeholder fordoblede eller tredoblede elementer. Når vi regner med mængder, sorterer vi simpelthen de fordoblede elementer fra.

Antal elementer og lighed

Vi kan definere mængdens størrelse, som er antallet af elementer i mængden. Af det foregående eksempel A = {1, 1, 2, 2, 2} og B = {2, 1} ville det altså gælde, at størrelsen af mængden A er to, men størrelsen af mængden B er også to, fordi vi heller ikke, når vi tæller elementerne i en mængde, er interesserede i dubletter. Mængdens størrelse skriver vi mellem lodrette streger: |A| = |B| = 2.

Som du sikkert allerede har forstået, er to mængder lig med hinanden, hvis de har de samme elementer. Et par eksempler:

$$\begin{array}{rcl}\{1,2,3\}& =& \{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}& =& \{1,2,3,2,3,1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1,3,5,9\}& \ne & \{1,3,9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

En vigtig egenskab er, at mængder kan have en mængde som element. Eksempel: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Det er vigtigt at være klar over, at mængden C har tre elementer, ikke seks. Mængden C indeholder tre elementer: en, to og en mængde. Elementerne 3, 4, 5 og 6 indeholdes af den indre mængde, ikke af mængden C. Der gælder altså |C| = 3. Et mere kompliceret eksempel:

$$D=\{0,\{1,\{2,3\}\},\left\{4\right\}\}$$

Hvor mange elementer indeholder mængden D? Den indeholder tre elementer, og det er disse:

$$D_1=0,D_2=\{1,\{2,3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

En mængde kan være endelig eller uendelig. Endelige mængder er alle dem, vi indtil nu har nævnt. Uendelig er for eksempel mængden af alle tal.

Delmængde

Lad os tage to mængder A = {1, 2} og B = {1, 2, 3}. Disse mængder er forskellige, fordi de ikke indeholder de samme elementer, mængden B er større. Du har dog sikkert lagt mærke til, at mængden B indeholder præcis de samme elementer som mængden A, den har bare elementet 3 ekstra. Nu kan vi sige, at A er en delmængde af B.

Hvis A er en delmængde af B, må det gælde, at alle de elementer, som mængden A indeholder, også må være i mængden B. At være en delmængde er en relation, og vi skriver den med symbolet ⊆. Formel definition:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

Som regel forudsætter man, at mængderne A og B godt kan være ens, og så gælder stadig A ⊆ B. Hvis vi vil udtrykke den skarpe variant af delmængde, bruger vi et andet symbol: ⊂. Så gælder det, at hvis A ⊂ B, så må mængden B være større (hvis den er endelig), den må indeholde et element, som mængden A ikke indeholder. En sådan mængde kalder vi en »ægte delmængde«. Altså hvis A ⊂ B, så er A en ægte delmængde af B. Definition af ægte delmængde:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

Definitionen er den samme som for en almindelig delmængde, bare må de to mængder ikke være ens. Nogle eksempler:

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subseteq & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{2,4,6\}& \subseteq & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{2,4,6\}& \subset & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{1,2,3\}& ⊈& \{1,3\}\\ \{1,2,3\}& \not\subset & \{1,3\}\\ \{0,1\}& \subseteq & \{0,1\}\\ \{0,1\}& \not\subset & \{0,1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subseteq & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

Egenskaber ved delmængder:

• A ⊆ A: en mængde er altid en delmængde af sig selv.
• A ⊄ A: en mængde er aldrig en ægte delmængde af sig selv.
• ∅ ⊆ A: den tomme mængde er en delmængde af enhver mængde.
• A ⊄ ∅: den tomme mængde har ingen ægte delmængde.

Ved hjælp af delmængder kan vi skrive, at to mængder er lig med hinanden:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Hvis begge mængder er ens, er den ene en delmængde af den anden.

Delmængderelationen kan vi også kalde »inklusion«.

Potensmængde

Potensmængden er mængden af alle delmængder af en given mængde. Den skrives som regel enten P(M) eller 2^M.

Eksempel: M = {1, 2, 3}. Hvilke delmængder findes der? Helt sikkert den tomme delmængde og selve mængden M. Videre: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Alle disse mængder udgør potensmængden af mængden M. Vi skriver: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Da den tomme mængde er en delmængde af enhver mængde, og M altid er en delmængde af M, vil der altid gælde, at ∅ ∈ P(M) og M ∈ P(M).

Sådan skriver du en mængde

Én måde har vi allerede nævnt, nemlig blot at opremse elementerne. Til det bruger vi tuborgparenteser. M = {1, 2, 3} eller N = {a, b, c, d} osv. Hvis vi skriver en uendelig mængde, kan vi bruge tre prikker, når det er klart, hvordan rækken af elementer fortsætter: M = {1, 2, 3, …}

Den vigtigste måde at skrive en mængde på er mængdens beskrivende form. Generelt ser skrivemåden sådan ud: {x ∈ X ∣ P(x)}, hvor X er den mængde, vi vælger elementer fra, og P(x) er en formel, som præciserer mængdens elementer. Formlen kan skrives rent matematisk eller i ord. I stedet for »|« bruger man også kolon: »:».

For eksempel »lad mængden M indeholde alle de tal, der angiver en dag i måneden«. En måned har højst 31 dage, så en sådan mængde ville have 31 elementer, fra 1 til 31. Vi kunne skrive den med prikker sådan her: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. En anden skrivemåde for den samme mængde kunne se således ud: {x ∈ ℤ ∣ x angiver en dag i måneden}, hvor ℤ betegner mængden af hele tal.

Et mere matematisk eksempel kunne lyde »lad mængden P indeholde alle de positive tal, der er delelige med fem«. Så ville mængden se sådan ud: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Lad os prøve matematisk at skrive mængden T af de naturlige tal, der er mindre end ti: T = {x ∈ ℕ ∣ x<10}. Denne skrivemåde fortæller os: mængden T består af elementer x, som vi tager fra mængden af naturlige tal, og som opfylder betingelsen, at de er mindre end 10. Så vi kigger på de naturlige tal og udvælger kun dem, der er mindre end ti: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Og det er det hele.

Et andet eksempel: Y = {x ∈ ℤ ∣ x ≠ 0}. Vi har defineret mængden Y, som indeholder elementer x, som vi tager fra de hele tal, og den eneste betingelse, x skal opfylde, er, at det ikke må være nul. Mængden Y indeholder altså alle de hele tal undtagen nul.

Et andet eksempel: G = {x ∈ ℝ ∣ x · x = x}. Mængden G indeholder elementer x, som vi tager fra de reelle tal, og for alle elementer x skal det gælde, at når vi ganger dem med sig selv, får vi igen tallet x. Vi kan for eksempel prøve tallet 5. Ifølge definitionen skal denne ligning gælde: 5 · 5 = 5. Det gør den åbenlyst ikke, så tallet 5 er ikke element i mængden G. Vi prøver med en: 1 · 1 = 1. For den gælder det tydeligvis, så en er element i mængden G. Det andet og samtidig sidste element er tallet nul. For ingen andre tal vil det gælde. Vi kan altså skrive: G = {0, 1}.

Og et sidste eksempel. Jeg skriver noget mere kompliceret, så du kan se, at den beskrivende betingelse også kan være kompliceret:

$$X=\{x\in \mathbb{R}\mid (x^2=2x)\vee (\sin (x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

I praksis defineres en mængde oftest ved en beskrivende betingelse, og man kan sige, at en ret stor del af begreberne i matematik er defineret ved hjælp af mængder. Hvis vi tager et interval, kan vi sige, at intervallet ]a; b[ er en mængde I, for hvilken der gælder:

$$I=\{x\in \mathbb{R}\mid (x>a)\wedge (x<b)\}$$

Det er alle elementer fra mængden af reelle tal, som er større end a og mindre end b, og det er præcis det, et interval udtrykker.

Yderligere kilder

• Wikipedia