Ligningssystemer

I praksis støder vi ofte på tilfælde, hvor vi ikke regner én ligning, men to ligninger på én gang (eller endnu flere). Først viser vi, hvordan man løser et sådant ligningssystem ved hjælp af substitutionsmetoden. Hvis du vil løse ligningssystemer ved hjælp af matricer, så gå til artiklen lineære ligningssystemer.

Grundbegreber

Et ligningssystem består af flere ligninger, som vi løser sammen. I et ligningssystem har vi som regel også flere variable end én, og vi forsøger at finde en sådan kombination af tal, at når vi indsætter dem for alle variablerne, giver alle ligningerne mening.

Et eksempel på et ligningssystem kan være dette system:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

Resultatet af dette system skulle gerne være et par (eller en mængde af par) af tal, som vi indsætter for variablerne a og b, så begge ligninger forbliver opfyldt. Sådan nogenlunde på øjemål kan vi se, at variablen a må være lig med −b, for at ligningen a + b = 0 er opfyldt. Hvis vi har den viden, kan vi ud fra den anden ligning let se, at a = 10 og b = −10. Efter indsættelse får vi:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Så, løsningen på øjemål har vi overstået, nu går vi i gang med nogle algoritmer til løsning af ligningssystemer, der virker.

Substitutionsmetoden

I substitutionsmetoden isolerer vi en af de ubekendte i en ligning og sætter derefter dette resultat ind i den anden ligning. Så til at begynde med får vi brug for et system. For eksempel dette:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Dette er et simpelt system af to ligninger med to ubekendte. Vores opgave er at udtrykke variablerne x og y sådan, at begge ligninger giver mening. Fra den første ligning isolerer vi y. Så vi tager kun den første ligning og isolerer y.

$4 x + 2 y = 6$

Først trækker vi 4x fra:

$2 y = 6 - 4 x$

Vi dividerer med to:

$y = 3 - 2 x$

Nu ved vi, hvad y er lig med. Dette resultat kan vi indsætte for variablen y i den anden ligning. Så i den anden ligning skriver vi 3 − 2x i stedet for y. Hvad opnår vi dermed? Vi opnår, at vi i den anden ligning ikke har to variable, men kun én, fordi vi i stedet for variablen y har indsat et udtryk, som kun indeholder variablen x. Så vi indsætter:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Nu ganger vi bare parentesen ud og lægger sammen, hvad der kan lægges sammen:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Nu kender vi værdien af x, den er lig med to. Tilbage er at beregne værdien af y. Det gør vi ved at indsætte den allerede kendte værdi af x i en ligning, som indeholder begge variable — både x og y. Vi kan for eksempel vælge den allerførste ligning. Vi indsætter sådan:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Hermed har vi løst systemet. Ligningssystemet har netop én løsning, nemlig x = 2 og y = −1. Hvis du vil kontrollere dette resultat, så indsæt det simpelthen i begge ligninger. Så indsættelse i den første ligning:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

Og indsættelse i den anden ligning:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Additionsmetoden

Denne metode kan jeg bedst lide, men det afhænger naturligvis af det konkrete eksempel. Den egner sig ikke altid. Princippet i additionsmetoden er, at addition af ligninger ved løsning af ligningssystemer er en ækvivalent omformning. Addition af ligninger udfører vi sådan, at vi lægger venstre side af den ene ligning til venstre side af den anden ligning og derefter lægger højresiderne af ligningerne sammen. Lad os generelt have et sådant ligningssystem:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Ved at lægge disse ligninger sammen ville vi få én ligning, defineret sådan:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Vi har lagt venstresiderne sammen for sig og højresiderne for sig. Men hvad bliver vores mål? Hvis vi lægger to ligninger sammen, og der bliver to variable tilbage, hjælper det os ikke ret meget. Derfor forsøger vi at få den ene variabel til at forsvinde, når vi lægger begge ligninger sammen, altså at de trækker hinanden fra, udligner hinanden. Vi forsøger altså at opnå, at summen af et af funktionsparrene, enten f eller g, er nul:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Hvordan opnår vi det? Et ligningssystem indeholder almindelige ligninger, som vi kan anvende ækvivalente omformninger af ligninger på, ligesom vi kender dem fra almindelige typer ligninger. Derfor kan vi gange en af ligningerne med et tal, uden at ligningens gyldighed ændrer sig. Vi prøver altså at løse det foregående ligningssystem ved hjælp af additionsmetoden. Opgaven er altså den samme:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Hvis vi lagde ligningerne sammen med det samme, ville begge variable blive tilbage:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Derfor må vi først foretage nogle omformninger. Vi vil forsøge at lade variablen y »forsvinde«. Til det skal koefficienten foran y i begge ligninger være ens, bortset fra fortegnet — det skal være modsat. Vi leder altså efter det mindste fælles multiplum, som er 6. En enkel fremgangsmåde er at gange koefficienterne med hinanden: to gange tre er seks — tallet seks er så helt sikkert deleligt med begge tal (bemærkning: denne fremgangsmåde sikrer ikke det mindste fælles multiplum, men finder et tal, som er deleligt med begge koefficienter).

Nu forsøger vi altså at få en sekser foran y i hver ligning. Vi ganger derfor den første ligning med tre, den anden med to:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

Vi får:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Nu lægger vi ligningerne sammen:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Vi fik altså én ligning med én ubekendt, som vi nemt kan løse:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Vi ser, at vi fik samme resultat som ved den foregående metode, substitutionsmetoden. Nu skulle vi bare igen indsætte x i en ligning og ville få resultatet y = −1. Prøven ville også foregå helt på samme måde.

Antal løsninger

Et ligningssystem behøver ikke have netop én løsning. Det kan også have uendeligt mange løsninger eller omvendt ingen løsning. Kort om, hvornår det sker. Hvis vi har to ligninger med to ubekendte, og vi kan udtrykke den ene af disse ligninger ved hjælp af den anden ved at anvende nogle ækvivalente omformninger på den, så har systemet uendeligt mange løsninger. Som eksempel kan tjene systemet

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Vi ser, at hvis vi ganger den første ligning med to, får vi præcis den anden ligning. Den anden ligning giver os altså ingen »ny information« om systemet, så den er praktisk talt overflødig. Samlet viser det sig ved, at enhver løsning til ligningen

$x + y = 2$

samtidig er en løsning til hele systemet. For eksempel er parrene (1, 1) eller (−3, 5) løsninger til den første ligning og samtidig til hele systemet.

Systemet har derimod slet ingen løsning, hvis vi i systemet har nogle modstridende ligninger, som ikke kan gælde samtidig. For eksempel:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Det kan ikke samtidig gælde, at summen x + y er lig med både to og fire, derfor har systemet ingen løsning. Endnu et par eksempler:

Første eksempel

Løs følgende ligningssystem med to ligninger og to ubekendte:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Ved et hurtigt blik på systemet ser vi, at det er en oplagt kandidat til additionsmetoden. Koefficienten foran x er i den anden ligning dobbelt så stor som i den første ligning, og koefficienten foran y er i den anden ligning tre gange så stor. Det er altså nok at gange den første ligning med enten minus to eller minus tre og lægge ligningerne sammen. Vi prøver at fjerne for eksempel variablen x, så vi ganger den første ligning med −2. Vi får:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Vi lægger disse to ligninger sammen og får

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Vi har det første resultat af vores system. Dette resultat indsætter vi i en ligning, vi kan igen indsætte det i den allerførste ligning:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Vi har altså resultatet af ligningssystemet, x = 9 og y = −14.

Andet eksempel

Løs følgende ligningssystem med to ligninger og to ubekendte:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Det ser lidt vildt ud, men det kan lade sig gøre. Allerførst må vi gange parenteserne ud, uden det kommer vi ikke ret langt.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Nu omformer vi ligningerne til en mere brugbar form, variablerne flytter vi over på venstre side af ligningen og konstantleddene på højre side, og så trækker vi fra, hvad der kan trækkes fra.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Nu har vi af de grimt udseende ligninger fået et ret brugbart ligningssystem og kan anvende en af de klassiske fremgangsmåder. Vi kan for eksempel gange den anden ligning med to og lægge den sammen med den første ligning. Efter at have ganget den anden ligning med to får vi:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Nu lægger vi begge ligninger sammen med den klassiske additionsmetode:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Fremragende, nu kender vi det ene resultat. Dette resultat indsætter vi i en af ligningerne og beregner y. Vi kan indsætte for eksempel i ligningen 2x− 3y = −13 og får:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Nu har vi det komplette resultat af ligningssystemet — det har løsningen x = 4 og y = 7.

« Forrige: Trigonometriske uligheder

Næste: Tal »