Miksi nollalla ei voi jakaa

Yritä syöttää laskimeen 6:0. Laskin kapinoi ja näyttää tuloksen sijasta vaikkapa ”Error” tai ”E”. Taustalla ei ole opettajien eikä laskinten valmistajien oikku. Tarkastelemme useita syitä sille, miksi nollalla ei voi jakaa, ja kaikki johtavat samaan johtopäätökseen.

Jakolasku on käänteinen kertolasku

Laskiessamme 12:3 etsimme lukua, joka kolmella kerrottuna antaa 12. Sellainen luku on 4, koska

$4 \cdot 3 = 12.$

Siis 12:3 = 4. Näin jakolasku otetaan käyttöön, ja jokaisen osamäärän voi sen jälkeen tarkistaa kertolaskulla.

Käytetään nyt samaa menetelmää nollaan. Jos 6:0 olisi jokin luku x, pitäisi päteä

$x \cdot 0 = 6.$

Mutta mikä tahansa luku kerrottuna nollalla on nolla, sen tiedämme kertomisesta nollalla. Sijoitimmepa x:n paikalle ykkösen, miljoonan tai miinus kolmen, tulos on aina nolla eikä koskaan kuusi. Sellaista lukua x ei yksinkertaisesti ole, ja siksi osamäärällä 6:0 ei ole mitään tulosta.

Montako kertaa nolla mahtuu?

Jakolaskua voi katsoa myös toistuvana vähennyslaskuna. Osamäärä 12:3 kertoo, montako kertaa kahdestatoista vähennetään kolme, ennen kuin päästään nollaan:

$12 - 3 - 3 - 3 - 3 = 0$

Kolme mahtui neljä kertaa, joten 12:3 = 4.

Sen sijaan lausekkeessa 6:0 vähentäisimme kuudesta pelkkiä nollia. Ensimmäisen vähennyksen jälkeen jäljellä on 6, kymmenennen jälkeen myös 6 ja miljoonennen jälkeen taas 6, kunnes kyllästymme. Nollaan emme koskaan pääse, vähentää voisi loputtomiin. Mitään vähennysten lukumäärää, jonka voisi kirjoittaa tulokseksi, ei ole.

Mitä tapahtuu lähellä nollaa

Nollalla ei saa jakaa, mutta nollaa hyvin lähellä olevilla luvuilla saa. Otetaan ykkönen ja jaetaan se yhä pienemmillä luvuilla:

$\begin{array}{rcl} 1 : 1 & = & 1 \\ 1 : 0, 1 & = & 10 \\ 1 : 0, 01 & = & 100 \\ 1 : 0,001 & = & 1 000 \end{array}$

Mitä pienempi jakaja, sitä suurempi tulos. Jakaja 0,000001 antaa jo miljoonan, ja tulos kasvaa yli kaikkien rajojen.

Kun lähestymme nollaa negatiiviselta puolelta, esimerkiksi 1:(−0,001) = −1 000, tulos pienenee yhä enemmän ja putoaa kohti miinus ääretöntä. Havainnollisesti sen näyttää funktion $y = \frac{1}{x}$ kuvaaja:

Funktion y=1/x kuvaaja

Nollan oikealla puolella käyrä ampaisee ylös, nollan vasemmalla puolella se romahtaa alas. Oikealta tulos lähestyy ääretöntä ja vasemmalta miinus ääretöntä, kumpikin puoli vetää eri suuntaan. Siksi myöskään ”ääretön” ei kelpaa tulokseksi lausekkeelle 1:0. Jos haluat tietää lisää, voit katsoa artikkelia toispuoleisesta raja-arvosta, jossa tämä käyttäytyminen kirjoitetaan täsmällisesti.

Eikö voisi vain sanoa, että tulos on ääretön?

Kokeillaan ja katsotaan, mikä menee rikki. Sanotaan, että 1:0 = ∞. Sama päättely antaisi myös 2:0 = ∞, koska myös kaksi jaettuna yhä pienemmillä luvuilla kasvaa yli kaikkien rajojen.

Tarkistetaan nyt molemmat osamäärät kertolaskulla, aivan kuten alussa. Yhtälöstä 1:0 = ∞ seuraa ∞ · 0 = 1 ja yhtälöstä 2:0 = ∞ seuraa ∞ · 0 = 2. Vasen puoli on kummassakin sama, joten pitäisi päteä

$1 = 2.$

Se ei tietenkään pidä paikkaansa. Äärettömällä ei siis voi laskea kuin tavallisella luvulla.

Matemaatikot eivät kuitenkaan pelkää uusia lukuja. Negatiivisen ykkösen neliöjuurta ei reaaliluvuissa ole, joten otettiin käyttöön uusi luku i, jolle pätee i² = −1. Näin syntyivät kompleksiluvut, ja niissäkin yhteenlasku, kertolasku ja sulkujen kanssa laskeminen toimivat edelleen. Nollalla jaettaessa tämä ei onnistu: millaisen uuden luvun tahansa keksisimme, jos sille pätisivät tavalliset laskusäännöt, päätyisimme aina johonkin tyyliin 1 = 2 ja itse laskeminen hajoaisi.

Entä nolla jaettuna nollalla?

Tässä ongelma on päinvastainen. Jos 0:0 = x, pitäisi päteä x · 0 = 0. Tämän yhtälön toteuttaa kuitenkin aivan jokainen luku: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 ja (−7) · 0 = 0. Tulos ei olisi yksikäsitteinen, emme tietäisi, mikä luku valita, ja siksi osamäärääkään 0:0 ei määritellä. Lisää siitä voit lukea jakolaskua käsittelevästä artikkelista.

Todistus sille, että 1 = 2

Nollalla jakaminen osaa piiloutua taitavasti. Olkoon kaksi yhtä suurta lukua a = b, jotka eivät ole nollia, ja muokataan:

$\begin{array}{rcl} a & = & b / \cdot a \\ a^{2} & = & a b / - b^{2} \\ a^{2} - b^{2} & = & a b - b^{2} \end{array}$

Vasen puoli jaetaan tekijöihin kaavalla a² − b² = (a + b)(a − b) ja oikealta erotetaan yhteinen tekijä b:

$\begin{array}{rcl} (a + b) (a - b) & = & b (a - b) / : (a - b) \\ a + b & = & b \end{array}$

Koska a = b, voimme sijoittaa a:n paikalle b:n:

$\begin{array}{rcl} 2 b & = & b / : b \\ 2 & = & 1 \end{array}$

Jokainen vaihe näyttää viattomalta, ja silti ”todistimme” mielettömyyden. Missä virhe tapahtui? Yritä keksiä se, ennen kuin luet eteenpäin.

Virhe piilee jakamisessa lausekkeella a − b. Koska a = b, on a − b = 0, ja jaoimme siis koko yhtälön nollalla. Siksi yhtälöitä muokattaessa tarkistetaan aina, voiko lauseke, jolla jaetaan, olla nolla. Viimeinen jako luvulla b sen sijaan on kunnossa, koska b ei ole nolla.

Katso myös

« Edellinen: Jakolasku

Seuraava: Polynomit »