Γιατί δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν
Δοκίμασε να πληκτρολογήσεις στον υπολογιστή τσέπης 6:0. Ο υπολογιστής θα «επαναστατήσει» και αντί για αποτέλεσμα θα γράψει, ας πούμε, «Error» ή «E». Πίσω από αυτό δεν κρύβεται ούτε καπρίτσιο των δασκάλων ούτε των κατασκευαστών. Θα δούμε μερικούς λόγους για τους οποίους δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν, και όλοι καταλήγουν στο ίδιο συμπέρασμα.
Η διαίρεση είναι αντίστροφος πολλαπλασιασμός
Όταν υπολογίζουμε το 12:3, ψάχνουμε τον αριθμό που, πολλαπλασιασμένος με το τρία, δίνει 12. Αυτός ο αριθμός είναι το 4, επειδή
Άρα ισχύει 12:3 = 4. Έτσι ορίζεται η διαίρεση και κάθε πηλίκο μπορούμε μετά να το επαληθεύσουμε με πολλαπλασιασμό.
Ας εφαρμόσουμε την ίδια διαδικασία στο μηδέν. Αν το 6:0 ήταν κάποιος αριθμός x, θα έπρεπε να ισχύει
Όμως οτιδήποτε επί μηδέν κάνει μηδέν, το ξέρουμε από τον πολλαπλασιασμό με το μηδέν. Όποιον αριθμό κι αν βάλουμε στη θέση του x, το ένα, το ένα εκατομμύριο ή το μείον τρία, βγαίνει πάντα μηδέν και ποτέ έξι. Ένας τέτοιος αριθμός x απλώς δεν υπάρχει, και γι' αυτό το πηλίκο 6:0 δεν έχει κανένα αποτέλεσμα.
Πόσες φορές χωράει το μηδέν;
Στη διαίρεση μπορούμε να δούμε και μια επαναλαμβανόμενη αφαίρεση. Το πηλίκο 12:3 λέει πόσες φορές αφαιρούμε το τρία από το δώδεκα μέχρι να φτάσουμε στο μηδέν:
Το τρία χώρεσε τέσσερις φορές, άρα 12:3 = 4.
Στο 6:0 όμως θα αφαιρούσαμε από το έξι μόνο μηδενικά. Μετά την πρώτη αφαίρεση μένει 6, μετά τη δέκατη πάλι 6 και μετά την εκατομμυριοστή ξανά 6, μόνο που στο μεταξύ θα έχουμε βαρεθεί. Στο μηδέν δεν φτάνουμε ποτέ, θα μπορούσαμε να αφαιρούμε επ' άπειρον. Δεν υπάρχει κανένας αριθμός αφαιρέσεων που να μπορεί να γραφτεί ως αποτέλεσμα.
Τι συμβαίνει κοντά στο μηδέν
Με το μηδέν δεν επιτρέπεται να διαιρούμε, με αριθμούς πολύ κοντά στο μηδέν όμως επιτρέπεται. Ας πάρουμε το ένα και ας το διαιρέσουμε με όλο και μικρότερους αριθμούς:
Όσο μικρότερος ο διαιρέτης, τόσο μεγαλύτερο το αποτέλεσμα. Ο διαιρέτης 0,000001 δίνει ήδη ένα εκατομμύριο και το αποτέλεσμα αυξάνεται πέρα από κάθε όριο.
Όταν πλησιάζουμε το μηδέν από την αρνητική πλευρά, για παράδειγμα 1:(−0,001) = −1.000, το αποτέλεσμα γίνεται όλο και μικρότερο και πέφτει προς το μείον άπειρο. Παραστατικά το δείχνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Δεξιά από το μηδέν η καμπύλη εκτοξεύεται προς τα πάνω, αριστερά από το μηδέν γκρεμίζεται προς τα κάτω. Από δεξιά λοιπόν το αποτέλεσμα πλησιάζει το άπειρο, από αριστερά το μείον άπειρο, και κάθε πλευρά μας τραβά αλλού. Ούτε το «άπειρο» ταιριάζει, επομένως, ως αποτέλεσμα του 1:0. Όποιος θέλει να μάθει περισσότερα, μπορεί να διαβάσει το άρθρο για το πλευρικό όριο, όπου γράφεται ακριβώς αυτή η συμπεριφορά.
Δεν θα μπορούσαμε απλώς να πούμε ότι είναι άπειρο;
Ας το δοκιμάσουμε και ας δούμε τι χαλάει. Ας πούμε ότι 1:0 = ∞. Το ίδιο σκεπτικό θα έδινε και 2:0 = ∞, επειδή και το δύο, διαιρεμένο με όλο και μικρότερους αριθμούς, αυξάνεται πέρα από κάθε όριο.
Τώρα ελέγχουμε και τα δύο πηλίκα με πολλαπλασιασμό, όπως στην αρχή. Από το 1:0 = ∞ προκύπτει ∞ · 0 = 1 και από το 2:0 = ∞ προκύπτει ∞ · 0 = 2. Το αριστερό μέλος είναι και στις δύο περιπτώσεις το ίδιο, άρα θα έπρεπε να ισχύει
Αυτό φυσικά δεν ισχύει. Με το άπειρο λοιπόν δεν μπορούμε να κάνουμε πράξεις όπως με έναν συνηθισμένο αριθμό.
Οι μαθηματικοί όμως δεν φοβούνται τους νέους αριθμούς. Η τετραγωνική ρίζα του μείον ένα δεν υπάρχει στους πραγματικούς αριθμούς, και έτσι εισήγαγαν τον νέο αριθμό i, για τον οποίο ισχύει i2 = −1. Προέκυψαν έτσι οι μιγαδικοί αριθμοί, στους οποίους εξακολουθούν να λειτουργούν η πρόσθεση, ο πολλαπλασιασμός και οι πράξεις με παρενθέσεις. Στη διαίρεση με το μηδέν όμως αυτό δεν πετυχαίνει: όποια μορφή κι αν είχε ο νέος αριθμός, αν γι' αυτόν ίσχυαν οι συνηθισμένοι κανόνες των πράξεων, θα καταλήγαμε πάντα σε κάτι σαν 1 = 2 και οι ίδιες οι πράξεις θα κατέρρεαν.
Και τι γίνεται με το μηδέν διά μηδέν;
Εδώ το πρόβλημα είναι το αντίθετο. Αν ίσχυε 0:0 = x, θα έπρεπε να ισχύει x · 0 = 0. Αυτή την εξίσωση όμως την ικανοποιεί κάθε αριθμός: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 και (−7) · 0 = 0. Το αποτέλεσμα δεν θα ήταν μονοσήμαντο, δεν θα ξέραμε ποιον αριθμό να διαλέξουμε, και γι' αυτό ούτε το πηλίκο 0:0 το ορίζουμε. Περισσότερα για αυτό θα βρεις στο άρθρο για τη διαίρεση.
Απόδειξη ότι 1 = 2
Η διαίρεση με το μηδέν ξέρει να κρύβεται έξυπνα. Έστω δύο ίσοι αριθμοί a = b, που δεν είναι μηδέν, και ας κάνουμε πράξεις:
Το αριστερό μέλος το παραγοντοποιούμε με την ταυτότητα a2 − b2 = (a + b)(a − b) και από το δεξιό βγάζουμε κοινό παράγοντα το b:
Επειδή a = b, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το a με το b:
Κάθε βήμα φαίνεται αθώο, κι όμως «αποδείξαμε» μια ανοησία. Πού έγινε το λάθος; Δοκίμασε να το βρεις πριν συνεχίσεις το διάβασμα.
Το λάθος κρύβεται στη διαίρεση με την παράσταση a − b. Επειδή a = b, είναι a − b = 0, και έτσι διαιρέσαμε ολόκληρη την εξίσωση με το μηδέν. Γι' αυτό στις μετατροπές εξισώσεων πρέπει πάντα να προσέχουμε αν η παράσταση με την οποία διαιρούμε μπορεί να είναι μηδέν. Η τελευταία διαίρεση με το b αντίθετα είναι σωστή, επειδή το b δεν είναι μηδέν.
