Sıfıra Neden Bölemeyiz
Hesap makinesine 6:0 yazmayı dene. Makine isyan edecek ve sonuç yerine örneğin “Error” ya da “E” yazacak. Bunun arkasında öğretmenlerin ya da hesap makinesi üreticilerinin keyfi yok. Sıfıra bölmenin neden mümkün olmadığını birkaç gerekçeyle inceleyeceğiz ve hepsi aynı sonuca varacak.
Bölme, Çarpmanın Tersidir
12:3 işlemini yaparken, üçle çarpıldığında 12 veren sayıyı ararız. Bu sayı 4’tür, çünkü
Demek ki 12:3 = 4. Bölme böyle tanımlanır ve her bölümü çarpma ile kontrol edebiliriz.
Şimdi aynı yöntemi sıfıra uygulayalım. 6:0 bir x sayısına eşit olsaydı, şu eşitlik sağlanmak zorunda olurdu:
Oysa herhangi bir sayıyı sıfırla çarparsak sonuç sıfırdır, bunu sıfırla çarpma bölümünden biliyoruz. x yerine bir, bir milyon ya da eksi üç yazsak da sonuç her zaman sıfır çıkar, altı ise hiçbir zaman çıkmaz. Böyle bir x yoktur; bu yüzden 6:0 bölümünün hiçbir sonucu yoktur.
Sıfır Kaç Kez Sığar?
Bölmeye tekrarlı çıkarma olarak da bakabiliriz. 12:3 bölümü, on ikiden sıfıra ulaşana kadar kaç kez üç çıkardığımızı söyler:
Üç, dört kez sığdı; yani 12:3 = 4.
Buna karşılık 6:0 için altıdan hep sıfır çıkarmamız gerekirdi. İlk çıkarmadan sonra 6 kalır, onuncudan sonra yine 6, milyonuncudan sonra da yine 6; yalnızca bu arada sıkılırız. Sıfıra hiçbir zaman ulaşamayız, sonsuza kadar çıkarmaya devam edebiliriz. Sonuç olarak yazılabilecek bir çıkarma sayısı yoktur.
Sıfıra Yaklaşırken Ne Olur?
Sıfıra bölemeyiz ama sıfıra çok yakın sayılara bölebiliriz. 1 sayısını alalım ve giderek küçülen sayılara bölelim:
Bölen küçüldükçe sonuç büyür. 0,000001 böleni ise artık bir milyon verir ve sonuç her sınırı aşarak artar.
Sıfıra negatif taraftan yaklaşırsak, örneğin 1:(−0,001) = −1.000 işleminde, sonuç giderek küçülür ve eksi sonsuza düşer. Bunu
Sıfırın sağında eğri yukarı fırlar, solunda aşağı çöker. Yani sağdan yaklaşırken sonuç sonsuza, soldan yaklaşırken eksi sonsuza gider; her taraf bizi başka yöne çeker. Bu yüzden “sonsuz” da 1:0 işleminin sonucu olarak uymaz. Daha fazlasını öğrenmek istersen tam da bu davranışın yazıldığı tek taraflı limit yazısına bakabilirsin.
Sonuç Sonsuz Desek Olmaz mı?
Deneyelim ve neyin bozulduğuna bakalım. 1:0 = ∞ diyelim. Aynı düşünceyle 2:0 = ∞ de çıkardı, çünkü iki de giderek küçülen sayılara bölününce her sınırı aşarak büyür.
Şimdi bu iki bölümü başlangıçtaki gibi çarpmayla kontrol edelim. 1:0 = ∞ eşitliğinden ∞ · 0 = 1, 2:0 = ∞ eşitliğinden ∞ · 0 = 2 çıkar. Sol taraf iki durumda da aynı olduğundan şunun sağlanması gerekirdi:
Bu tabii ki doğru değildir. Demek ki sonsuzla sıradan bir sayı gibi hesap yapamayız.
Matematikçiler yeni sayılardan korkmaz. Eksi birin karekökü gerçek sayılarda yoktur; bu yüzden i2 = −1 olan yeni bir i sayısı tanımladılar. Böylece karmaşık sayılar ortaya çıktı ve bu sayılarda toplama, çarpma ve parantezlerle hesap yapma işlemleri hâlâ çalışır. Sıfıra bölmede bu yol işe yaramaz: yeni sayı nasıl görünürse görünsün, onun için olağan hesap kuralları geçerli olsaydı, her zaman 1 = 2 gibi bir sonuca varırdık ve hesap yapmanın kendisi çökerdi.
Peki Sıfırın Sıfıra Bölümü?
Burada sorun tersidir. 0:0 = x olsaydı x · 0 = 0 sağlanmalıydı. Ama bu denklemi her sayı sağlar: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 ve (−7) · 0 = 0. Sonuç tek olmazdı, hangi sayıyı seçeceğimizi bilemezdik; bu yüzden 0:0 bölümünü de tanımlamayız. Bu konuda daha fazlasını bölme yazısında bulabilirsin.
1 = 2 İspatı
Sıfıra bölme çok ustaca saklanabilir. Sıfır olmayan, birbirine eşit iki sayı a = b alalım ve işlem yapalım:
Sol tarafı özdeşlikle a2 − b2 = (a + b)(a − b) biçiminde çarpanlarına ayırıyor, sağ taraftan da b’yi ortak çarpan olarak dışarı alıyoruz:
a = b olduğundan a yerine b yazabiliriz:
Her adım masum görünüyor ve yine de bir saçmalığı “ispatladık”. Hata nerede? Okumaya devam etmeden önce bulmaya çalış.
Hata, a − b ifadesine bölmede saklı. a = b olduğundan a − b = 0 ve böylece denklemin tamamını sıfıra bölmüş olduk. Bu yüzden denklem düzenlerken bölen ifadenin sıfır olup olamayacağına her zaman dikkat edilir. b ile son bölme ise sorunsuzdur, çünkü b sıfır değildir.
