Por qué no se puede dividir entre cero
Intenta introducir 6:0 en la calculadora. La calculadora se rebela y, en lugar de un resultado, escribe «Error» o «E». Detrás de esto no hay ningún capricho de los profesores ni de los fabricantes de calculadoras. Vamos a ver varias razones por las que no se puede dividir entre cero, y todas llegan a la misma conclusión.
La división es la multiplicación al revés
Al calcular 12:3 buscamos el número que, multiplicado por tres, da 12. Ese número es el 4, porque
Por tanto, 12:3 = 4. Así se introduce la división, y cada cociente se puede comprobar después multiplicando.
Ahora aplicamos el mismo procedimiento al cero. Si 6:0 fuera un número x, tendría que cumplirse
Pero cualquier número por cero es cero, como sabemos de multiplicar por cero. Pongamos en lugar de x el uno, un millón o menos tres: siempre sale cero y nunca seis. Sencillamente, ese x no existe y, por eso, el cociente 6:0 no tiene ningún resultado.
¿Cuántas veces cabe el cero?
También podemos ver la división como una resta repetida. El cociente 12:3 dice cuántas veces hay que restar tres a doce hasta llegar a cero:
El tres ha cabido cuatro veces, así que 12:3 = 4.
En cambio, en 6:0 restaríamos al seis solo ceros. Después de la primera resta sigue quedando 6, después de la décima también 6 y después de la millonésima otra vez 6, solo que entretanto nos cansamos. Nunca llegamos a cero y podríamos restar sin parar. No hay ningún número de restas que pueda escribirse como resultado.
Qué ocurre cerca del cero
No podemos dividir entre cero, pero sí entre números muy próximos a cero. Tomemos el uno y dividámoslo entre números cada vez más pequeños:
Cuanto menor es el divisor, mayor es el resultado. El divisor 0,000001 ya da un millón y el resultado crece por encima de cualquier cota.
Si nos acercamos al cero por el lado negativo, por ejemplo 1:(−0,001) = −1000, el resultado es cada vez menor y cae hacia menos infinito. Lo muestra con claridad la gráfica de la función
A la derecha del cero la curva se dispara hacia arriba y a la izquierda del cero se desploma hacia abajo. Por la derecha, el resultado se acerca a infinito; por la izquierda, a menos infinito, y cada lado tira hacia un sitio distinto. Por eso tampoco «infinito» sirve como resultado de 1:0. Si quieres saber más, puedes mirar el artículo sobre el límite lateral, donde se escribe con precisión justo este comportamiento.
¿No podríamos decir simplemente que es infinito?
Probémoslo y veamos qué se rompe. Digamos que 1:0 = ∞. El mismo razonamiento daría también 2:0 = ∞, porque el dos, dividido entre números cada vez más pequeños, también crece por encima de cualquier cota.
Ahora comprobamos ambos cocientes multiplicando, igual que al principio. De 1:0 = ∞ se deduce ∞ · 0 = 1 y de 2:0 = ∞ se deduce ∞ · 0 = 2. El miembro izquierdo es el mismo en los dos casos, así que tendría que cumplirse
Eso, por supuesto, no es cierto. Con el infinito no se puede, pues, operar como con un número corriente.
Pero los matemáticos no les tienen miedo a los números nuevos. La raíz cuadrada de menos uno no existe en los números reales, así que introdujeron un número nuevo i para el que se cumple i2 = −1. Así surgieron los números complejos, en los que siguen funcionando la suma, la multiplicación y el cálculo con paréntesis. Con la división entre cero esto no funciona: fuera como fuera el número nuevo, si para él valieran las reglas habituales de cálculo, siempre llegaríamos a algo como 1 = 2 y el propio cálculo se vendría abajo.
¿Y cero entre cero?
Aquí el problema es el contrario. Si 0:0 = x, tendría que cumplirse x · 0 = 0. Pero esta ecuación la cumple absolutamente cualquier número: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 y también (−7) · 0 = 0. El resultado no sería único, no sabríamos qué número elegir y, por eso, el cociente 0:0 tampoco se define. Encontrarás más sobre él en el artículo sobre la división.
Demostración de que 1 = 2
La división entre cero sabe esconderse muy bien. Tomemos dos números iguales a = b que no sean cero y hagamos transformaciones:
Descomponemos el miembro izquierdo con la fórmula a2 − b2 = (a + b)(a − b) y en el derecho sacamos factor común b:
Como a = b, podemos sustituir a por b:
Cada paso parece inocente y, aun así, hemos «demostrado» un disparate. ¿Dónde está el error? Intenta descubrirlo antes de seguir leyendo.
El error se esconde en la división entre la expresión a − b. Como a = b, resulta que a − b = 0, y por tanto hemos dividido toda la ecuación entre cero. Por eso, al transformar ecuaciones, siempre hay que vigilar que la expresión entre la que dividimos no pueda ser cero. La última división entre el número b, en cambio, está bien, porque b no es cero.
