Чому не можна ділити на нуль

Спробуй ввести в калькулятор 6:0. Калькулятор «збунтується» і замість результату напише, наприклад, «Error» або «E». За цим не стоїть примха вчителів чи виробників калькуляторів. Розглянемо кілька причин, чому ділити на нуль не можна, і всі вони приводять до того самого висновку.

Ділення — це обернене множення

Обчислюючи 12:3, ми шукаємо число, яке після множення на трійку дасть 12. Таким числом є 4, бо

$4 \cdot 3 = 12.$

Отже, 12:3 = 4. Саме так вводиться ділення, і кожну частку можна потім перевірити множенням.

Тепер застосуємо той самий спосіб до нуля. Якби 6:0 дорівнювало якомусь числу x, то мало б виконуватися

$x \cdot 0 = 6.$

Але будь-яке число, помножене на нуль, дає нуль, це ми знаємо з розділу про множення на нуль. Підставимо замість x одиницю, мільйон чи мінус три — завжди вийде нуль, а шістка ніколи. Такого x просто не існує, тому частка 6:0 не має жодного результату.

Скільки разів нуль вміщується?

На ділення можна глянути і як на повторне віднімання. Частка 12:3 показує, скільки разів треба відняти трійку від дванадцяти, щоб дійти до нуля:

$12 - 3 - 3 - 3 - 3 = 0$

Трійка вмістилася чотири рази, тож 12:3 = 4.

А от у випадку 6:0 ми б віднімали від шістки самі нулі. Після першого віднімання лишається 6, після десятого теж 6, після мільйонного знову 6, тільки нам це за цей час набридне. До нуля ми не дійдемо ніколи, віднімати можна було б безкінечно. Жодної кількості віднімань, яку можна було б записати як результат, тут немає.

Що відбувається поблизу нуля

Ділити на нуль не можна, але на числа, дуже близькі до нуля, можна. Візьмімо одиницю й ділімо її на дедалі менші числа:

$\begin{array}{rcl} 1 : 1 & = & 1 \\ 1 : 0, 1 & = & 10 \\ 1 : 0, 01 & = & 100 \\ 1 : 0,001 & = & 1 000 \end{array}$

Чим менший дільник, тим більший результат. Дільник 0,000001 уже дає мільйон, і результат зростає понад усі межі.

Коли ми наближаємося до нуля з від'ємного боку, наприклад 1:(−0,001) = −1 000, результат стає дедалі меншим і падає в мінус нескінченність. Наочно це показує графік функції $y = \frac{1}{x}$ :

Графік функції y=1/x

Праворуч від нуля крива злітає вгору, ліворуч від нуля падає вниз. Отже, справа результат наближається до нескінченності, зліва — до мінус нескінченності, кожен бік тягне нас в іншому напрямку. Тому навіть «нескінченність» як результат 1:0 не підходить. Хто хоче дізнатися більше, може зазирнути до статті про односторонню границю, де саме така поведінка записується точно.

Чи не можна просто сказати, що це нескінченність?

Спробуймо й подивімося, що зламається. Скажімо, що 1:0 = ∞. Те саме міркування дало б і 2:0 = ∞, адже й двійка, поділена на дедалі менші числа, зростає понад усі межі.

Тепер перевіримо обидві частки множенням, так само як на початку. З 1:0 = ∞ випливає ∞ · 0 = 1, а з 2:0 = ∞ випливає ∞ · 0 = 2. Ліва частина в обох випадках однакова, тож мало б виконуватися

$1 = 2.$

Це, звісно, неправда. Отже, з нескінченністю як зі звичайним числом обчислювати не можна.

Математики, проте, нових чисел не бояться. Квадратний корінь з мінус одиниці на множині дійсних чисел не існує, тож вони ввели нове число i, для якого виконується i² = −1. Так виникли комплексні числа, і додавання, множення та обчислення з дужками в них і далі працюють. З діленням на нуль такий трюк не вдається: яким би не було нове число, якби для нього виконувалися звичайні правила обчислень, ми завжди дійшли б до чогось на кшталт 1 = 2, і саме обчислення розвалилося б.

А що таке нуль поділити на нуль?

Тут проблема протилежна. Якби 0:0 = x, мало б виконуватися x · 0 = 0. Але це рівняння задовольняє абсолютно кожне число: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 і (−7) · 0 = 0. Результат не був би однозначним, ми не знали б, яке число вибрати, і тому частку 0:0 теж не означають. Більше про неї можна прочитати в статті про ділення.

Доведення того, що 1 = 2

Ділення на нуль уміє спритно ховатися. Нехай маємо два однакові числа a = b, які не дорівнюють нулю, і перетворюймо:

$\begin{array}{rcl} a & = & b / \cdot a \\ a^{2} & = & a b / - b^{2} \\ a^{2} - b^{2} & = & a b - b^{2} \end{array}$

Ліву частину розкладемо за формулою a² − b² = (a + b)(a − b), а з правої винесемо b за дужки:

$\begin{array}{rcl} (a + b) (a - b) & = & b (a - b) / : (a - b) \\ a + b & = & b \end{array}$

Оскільки a = b, можемо замість a підставити b:

$\begin{array}{rcl} 2 b & = & b / : b \\ 2 & = & 1 \end{array}$

Кожен крок виглядає невинно, а проте ми «довели» нісенітницю. Де сталася помилка? Спробуй її знайти, перш ніж читати далі.

Помилка ховається в діленні на вираз a − b. Оскільки a = b, маємо a − b = 0, отже, ми поділили все рівняння на нуль. Тому під час перетворень рівнянь завжди стежать, чи не може вираз, на який ми ділимо, дорівнювати нулю. Останнє ділення на число b, навпаки, коректне, бо b не дорівнює нулю.

Дивись також

« Попередня: Ділення чисел

Наступна: Многочлени »