Waarom je niet door nul kunt delen
Probeer eens 6:0 in je rekenmachine in te voeren. De rekenmachine komt in opstand en geeft in plaats van een uitkomst bijvoorbeeld “Error” of “E”. Daar zit geen gril van leraren of rekenmachinefabrikanten achter. We bekijken een aantal redenen waarom delen door nul niet kan, en ze komen allemaal tot dezelfde conclusie.
Delen is omgekeerd vermenigvuldigen
Bij het berekenen van 12:3 zoeken we het getal dat, vermenigvuldigd met drie, 12 geeft. Zo'n getal is 4, want
Er geldt dus 12:3 = 4. Zo wordt delen ingevoerd en elk quotiënt kunnen we daarna controleren door te vermenigvuldigen.
Nu passen we dezelfde werkwijze toe op nul. Als 6:0 een getal x zou zijn, zou moeten gelden
Maar alles maal nul is nul, dat weten we van vermenigvuldigen met nul. Of we nu voor x een, een miljoen of min drie invullen, er komt altijd nul uit en nooit zes. Zo'n x bestaat gewoon niet, en het quotiënt 6:0 heeft dus geen uitkomst.
Hoe vaak past nul erin?
Je kunt delen ook zien als herhaald aftrekken. Het quotiënt 12:3 zegt hoe vaak we drie van twaalf kunnen aftrekken voordat we bij nul uitkomen:
Drie paste er vier keer in, dus 12:3 = 4.
Bij 6:0 zouden we daarentegen van zes alleen maar nullen aftrekken. Na de eerste keer aftrekken blijft er 6 over, na de tiende ook 6 en na de miljoenste weer 6, alleen heb je er onderweg geen zin meer in. Bij nul komen we nooit uit, we zouden eindeloos kunnen blijven aftrekken. Er is geen aantal keren aftrekken dat je als uitkomst zou kunnen opschrijven.
Wat gebeurt er vlak bij nul
Door nul delen mag niet, maar door getallen die heel dicht bij nul liggen wel. Neem het getal één en deel het door steeds kleinere getallen:
Hoe kleiner de deler, hoe groter de uitkomst. De deler 0,000001 geeft al een miljoen en de uitkomst groeit boven elke grens.
Als we vanaf de negatieve kant naar nul toe gaan, bijvoorbeeld 1:(−0,001) = −1000, wordt de uitkomst steeds kleiner en valt ze naar min oneindig. Je ziet dat duidelijk aan de grafiek van de functie
Rechts van nul schiet de kromme omhoog, links van nul stort hij naar beneden. Van rechts nadert de uitkomst dus oneindig, van links min oneindig, elke kant trekt ons een andere kant op. Ook “oneindig” past dus niet als uitkomst van 1:0. Wie meer wil weten, kan kijken in het artikel over de eenzijdige limiet, waar precies dit gedrag wordt opgeschreven.
Kunnen we niet gewoon zeggen dat het oneindig is?
Laten we het proberen en kijken wat er stukgaat. Stel dat 1:0 = ∞. Dezelfde redenering zou ook 2:0 = ∞ geven, want ook de twee gedeeld door steeds kleinere getallen groeit boven elke grens.
Beide quotiënten controleren we nu door te vermenigvuldigen, net als in het begin. Uit 1:0 = ∞ volgt ∞ · 0 = 1 en uit 2:0 = ∞ volgt ∞ · 0 = 2. De linkerkant is in beide gevallen hetzelfde, dus zou moeten gelden
Dat klopt natuurlijk niet. Met oneindig kunnen we dus niet rekenen als met een gewoon getal.
Wiskundigen zijn echter niet bang voor nieuwe getallen. De wortel uit min één bestaat niet in de reële getallen, en daarom voerden ze een nieuw getal i in waarvoor geldt i2 = −1. Zo ontstonden de complexe getallen, en optellen, vermenigvuldigen en rekenen met haakjes werken daarin gewoon door. Bij delen door nul lukt dat niet: hoe het nieuwe getal er ook uitziet, als de gebruikelijke rekenregels ervoor zouden gelden, zouden we altijd uitkomen op iets als 1 = 2 en zou het rekenen zelf uit elkaar vallen.
En nul gedeeld door nul?
Hier is het probleem omgekeerd. Als 0:0 = x, zou moeten gelden x · 0 = 0. Maar deze vergelijking wordt door álle getallen voldaan: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 en ook (−7) · 0 = 0. De uitkomst zou niet eenduidig zijn, we zouden niet weten welk getal we moeten kiezen, en daarom definiëren we ook het quotiënt 0:0 niet. Meer daarover lees je in het artikel over delen.
Bewijs dat 1 = 2
Delen door nul kan zich slim verstoppen. Neem twee gelijke getallen a = b die niet nul zijn, en reken verder:
De linkerkant ontbinden we in factoren met de formule a2 − b2 = (a + b)(a − b) en bij de rechterkant brengen we b buiten haakjes:
Omdat a = b, kunnen we voor a ook b invullen:
Elke stap ziet er onschuldig uit, en toch hebben we onzin “bewezen”. Waar is de fout gemaakt? Probeer die te vinden voordat je verder leest.
De fout zit in het delen door de uitdrukking a − b. Omdat a = b, is a − b = 0, en we hebben de hele vergelijking dus door nul gedeeld. Daarom let je bij het omvormen van vergelijkingen altijd op of de uitdrukking waardoor je deelt niet nul kan zijn. Het laatste delen door het getal b is juist wel in orde, want b is niet nul.
