Hvorfor kan vi ikke dele på null
Prøv å taste inn 6:0 på kalkulatoren. Kalkulatoren protesterer og viser for eksempel «Error» eller «E» i stedet for et resultat. Bak dette ligger ikke noen innfall hos lærere eller kalkulatorprodusenter. Vi skal se på flere grunner til at vi ikke kan dele på null, og alle kommer til samme konklusjon.
Divisjon er omvendt multiplikasjon
Når vi regner ut 12:3, leter vi etter tallet som gir 12 når det multipliseres med tre. Det tallet er 4, fordi
Altså er 12:3 = 4. Slik innfører vi divisjon, og hver kvotient kan vi deretter kontrollere ved å multiplisere.
Nå bruker vi samme framgangsmåte på null. Hvis 6:0 var et tall x, måtte det gjelde at
Men hva som helst ganger null er null, det vet vi fra multiplikasjon med null. Enten vi setter inn én, en million eller minus tre for x, blir resultatet alltid null og aldri seks. Et slikt x finnes rett og slett ikke, og kvotienten 6:0 har derfor ikke noe resultat.
Hvor mange ganger går null opp?
Vi kan også se på divisjon som gjentatt subtraksjon. Kvotienten 12:3 sier hvor mange ganger vi trekker tre fra tolv før vi kommer til null:
Tre gikk opp fire ganger, så 12:3 = 4.
Ved 6:0 derimot ville vi trukket null fra seks om og om igjen. Etter første subtraksjon står det igjen 6, etter den tiende også 6, og etter den millionte igjen 6, bare med den forskjellen at vi har gått lei underveis. Vi kommer aldri til null, vi kunne trukket fra i det uendelige. Det finnes ikke noe antall subtraksjoner som kan skrives opp som resultat.
Hva skjer nær null
Vi får ikke dele på null, men vi kan dele på tall som ligger veldig nær null. La oss ta én og dele den på stadig mindre tall:
Jo mindre divisor, desto større resultat. Divisoren 0,000001 gir allerede en million, og resultatet vokser over alle grenser.
Hvis vi nærmer oss null fra den negative siden, for eksempel 1:(−0,001) = −1000, blir resultatet stadig mindre og faller mot minus uendelig. Grafen til funksjonen
Til høyre for null skyter kurven oppover, til venstre for null stuper den nedover. Fra høyre nærmer resultatet seg altså uendelig, fra venstre minus uendelig, og hver side drar oss i sin retning. Heller ikke «uendelig» passer derfor som resultat av 1:0. Hvis du vil vite mer, kan du se i artikkelen om ensidig grenseverdi, der akkurat denne oppførselen beskrives.
Kunne vi ikke bare si at det er uendelig?
La oss prøve og se hva som går i stykker. La oss si at 1:0 = ∞. Den samme tankegangen ville gitt 2:0 = ∞, fordi også to delt på stadig mindre tall vokser over alle grenser.
Nå kontrollerer vi begge kvotientene med multiplikasjon, akkurat som i begynnelsen. Fra 1:0 = ∞ følger ∞ · 0 = 1, og fra 2:0 = ∞ følger ∞ · 0 = 2. Venstre side er den samme i begge tilfeller, så det måtte gjelde at
Det stemmer selvsagt ikke. Vi kan altså ikke regne med uendelig som med et vanlig tall.
Matematikere er imidlertid ikke redde for nye tall. Kvadratroten av minus én finnes ikke blant de reelle tallene, så man innførte et nytt tall i som oppfyller i2 = −1. Slik oppstod de komplekse tallene, og addisjon, multiplikasjon og regning med parenteser fungerer fortsatt i dem. Med divisjon med null går ikke dette: uansett hvordan et nytt tall så ut, hvis de vanlige regnereglene gjaldt for det, ville vi alltid ende opp med noe som 1 = 2, og selve regningen ville falle sammen.
Og hva med null delt på null?
Her er problemet det motsatte. Hvis 0:0 = x, måtte det gjelde at x · 0 = 0. Men denne likningen oppfylles av absolutt alle tall: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 og (−7) · 0 = 0. Resultatet ville ikke vært entydig, vi ville ikke visst hvilket tall vi skulle velge, og derfor definerer vi heller ikke kvotienten 0:0. Du kan lese mer om den i artikkelen om divisjon.
Bevis for at 1 = 2
Divisjon med null kan gjemme seg smart. La oss ta to like tall a = b som ikke er null, og regne videre:
Venstre side faktoriserer vi etter formelen a2 − b2 = (a + b)(a − b), og fra høyre side setter vi b utenfor parentes:
Siden a = b, kan vi sette inn b for a:
Hvert trinn ser uskyldig ut, og likevel har vi «bevist» noe vrøvl. Hvor ble det gjort en feil? Prøv å finne den før du leser videre.
Feilen skjuler seg i divisjonen med uttrykket a − b. Siden a = b, er a − b = 0, og vi har altså delt hele likningen på null. Derfor må du ved omforming av likninger alltid passe på at uttrykket vi deler på, ikke kan være null. Den siste divisjonen med tallet b er derimot i orden, fordi b ikke er null.
