Miért nem lehet nullával osztani
Próbáld meg beírni a számológépbe a 6:0 műveletet. A számológép fellázad, és eredmény helyett például azt írja ki: „Error” vagy „E”. Ennek nem a tanárok vagy a számológépgyártók szeszélye áll a hátterében. Megnézünk néhány okot, amiért nem lehet nullával osztani, és mind ugyanarra a következtetésre jut.
Az osztás a szorzás fordítottja
A 12:3 kiszámításakor olyan számot keresünk, amelyet hárommal megszorozva 12-t kapunk. Ez a szám a 4, mert
Tehát 12:3 = 4. Az osztást így vezetjük be, és minden hányadost szorzással ellenőrizhetünk.
Most ugyanezt az eljárást alkalmazzuk a nullára. Ha a 6:0 valamilyen x szám lenne, akkor a következőnek kellene teljesülnie:
Csakhogy bármit szorzunk nullával, nullát kapunk, ezt a nullával való szorzásból tudjuk. Akár egyet, akár egymilliót, akár mínusz hármat helyettesítünk x helyére, mindig nulla jön ki, hat soha. Ilyen x egyszerűen nem létezik, ezért a 6:0 hányadosnak nincs eredménye.
Hányszor fér bele a nulla?
Az osztásra úgy is tekinthetünk, mint ismételt kivonásra. A 12:3 azt mondja meg, hányszor vonhatjuk ki a tizenkettőből a hármat, mire eljutunk a nullához:
A hármas négyszer fért bele, tehát 12:3 = 4.
A 6:0 esetében viszont a hatból csupa nullát vonnánk ki. Az első kivonás után 6 marad, a tizedik után is 6, a milliomodik után megint 6, legfeljebb közben megunjuk az egészet. A nullához soha nem jutunk el, a végtelenségig vonogathatnánk. Nincs olyan számú kivonás, amelyet eredményként felírhatnánk.
Mi történik a nulla közelében
Nullával nem oszthatunk, de a nullához nagyon közeli számokkal igen. Vegyük az egyet, és osszuk egyre kisebb számokkal:
Minél kisebb az osztó, annál nagyobb az eredmény. A 0,000001 osztó már egymilliót ad, és az eredmény minden határon túl nő.
Ha negatív oldalról közelítünk a nullához, például 1:(−0,001) = −1000, akkor az eredmény egyre kisebb lesz, és a mínusz végtelen felé zuhan. Ezt szemléletesen mutatja az
A nullától jobbra a görbe felszökik, a nullától balra lezuhan. Jobbról tehát az eredmény a végtelenhez, balról a mínusz végtelenhez közelít, mindkét oldal más irányba húz. Ezért a „végtelen” sem jó eredmény az 1:0 osztásra. Aki többet szeretne tudni, nézze meg az egyoldali határértékről szóló cikket, amely pontosan ezt a viselkedést írja le.
Nem mondhatnánk egyszerűen, hogy végtelen?
Próbáljuk ki, és nézzük meg, mi romlik el. Mondjuk azt, hogy 1:0 = ∞. Ugyanez a gondolatmenet a 2:0 = ∞ eredményt is adná, mert a kettes is minden határon túl nő, ha egyre kisebb számokkal osztjuk.
Mindkét hányadost ellenőrizzük szorzással, ahogyan az elején. Az 1:0 = ∞ egyenlőségből ∞ · 0 = 1 következik, a 2:0 = ∞ egyenlőségből pedig ∞ · 0 = 2. A bal oldal mindkét esetben ugyanaz, tehát ennek kellene teljesülnie:
Ez nyilvánvalóan nem igaz. A végtelennel tehát nem lehet közönséges számként számolni.
A matematikusok azonban nem félnek az új számoktól. A valós számok között nincs négyzetgyöke a mínusz egynek, ezért bevezettek egy új számot, az i-t, amelyre i2 = −1 teljesül. Így jöttek létre a komplex számok, és ezekben az összeadás, a szorzás és a zárójelekkel való számolás továbbra is működik. A nullával való osztásnál ez nem jön be: bárhogy nézne is ki az új szám, ha rá is érvényesek lennének a szokásos számolási szabályok, mindig valami olyasmihez jutnánk, mint az 1 = 2, és maga a számolás széthullana.
És mi van a nulla osztva nullával?
Itt fordított a gond. Ha 0:0 = x lenne, akkor teljesülnie kellene az x · 0 = 0 egyenlőségnek. Ezt az egyenletet azonban minden szám kielégíti: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 és (−7) · 0 = 0 is. Az eredmény nem lenne egyértelmű, nem tudnánk, melyik számot válasszuk, ezért a 0:0 hányadost sem értelmezzük. Többet olvashatsz róla az osztásról szóló cikkben.
Bizonyítás, hogy 1 = 2
A nullával való osztás ügyesen el tud bújni. Legyen két egyforma szám, a = b, amelyek egyike sem nulla, és alakítsuk át az egyenletet:
A bal oldalt szorzattá alakítjuk a nevezetes azonosság szerint: a2 − b2 = (a + b)(a − b), a jobb oldalból pedig kiemeljük a b-t:
Mivel a = b, az a helyére beírhatjuk a b-t:
Minden lépés ártatlannak látszik, és mégis „bebizonyítottunk” egy képtelenséget. Hol van a hiba? Próbáld megtalálni, mielőtt továbbolvasol.
A hiba abban rejlik, hogy az a − b kifejezéssel osztottunk. Mivel a = b, az a − b = 0, vagyis az egész egyenletet nullával osztottuk. Ezért kell az egyenletek átalakításakor mindig ügyelni arra, hogy az a kifejezés, amellyel osztunk, nem lehet-e nulla. Az utolsó, b-vel való osztás ezzel szemben rendben van, mert b nem nulla.
