Warum man nicht durch null teilen kann
Versuche einmal, in den Taschenrechner 6:0 einzugeben. Der Taschenrechner streikt und zeigt statt eines Ergebnisses zum Beispiel „Error“ oder „E“ an. Dahinter stecken weder Launen von Lehrern noch von Taschenrechnerherstellern. Wir schauen uns mehrere Gründe an, warum man nicht durch null teilen kann, und alle führen zum selben Schluss.
Division ist umgekehrte Multiplikation
Bei der Rechnung 12:3 suchen wir die Zahl, die mit drei multipliziert 12 ergibt. Diese Zahl ist 4, denn
Es gilt also 12:3 = 4. So wird die Division eingeführt, und jeden Quotienten können wir anschließend durch eine Multiplikation als Probe überprüfen.
Jetzt wenden wir dasselbe Vorgehen auf die Null an. Wäre 6:0 irgendeine Zahl x, müsste gelten
Aber jede Zahl mal null ist null, das wissen wir aus der Multiplikation mit null. Ob wir für x eins, eine Million oder minus drei einsetzen, es kommt immer null heraus und nie sechs. Ein solches x gibt es einfach nicht, und der Quotient 6:0 hat deshalb kein Ergebnis.
Wie oft passt die Null hinein?
Man kann sich die Division auch als wiederholtes Subtrahieren vorstellen. Der Quotient 12:3 sagt, wie oft wir von zwölf die Drei abziehen können, bis wir bei null ankommen:
Die Drei hat viermal hineingepasst, also ist 12:3 = 4.
Bei 6:0 dagegen würden wir von der Sechs lauter Nullen abziehen. Nach dem ersten Abziehen bleibt 6, nach dem zehnten auch 6 und nach dem millionsten wieder 6, nur macht es uns zwischendurch keinen Spaß mehr. Bei null kommen wir nie an, wir könnten ewig weiter subtrahieren. Eine Anzahl von Subtraktionen, die man als Ergebnis hinschreiben könnte, gibt es hier nicht.
Was in der Nähe von null passiert
Durch null dürfen wir nicht teilen, durch Zahlen ganz nah bei null aber schon. Nehmen wir die Eins und teilen sie durch immer kleinere Zahlen:
Je kleiner der Divisor, desto größer das Ergebnis. Der Divisor 0,000001 ergibt schon eine Million, und das Ergebnis wächst über alle Grenzen.
Nähern wir uns der Null von der negativen Seite, zum Beispiel 1:(−0,001) = −1.000, wird das Ergebnis immer kleiner und fällt gegen minus unendlich. Anschaulich zeigt das der Graph der Funktion
Rechts von null schießt die Kurve nach oben, links von null stürzt sie nach unten. Von rechts nähert sich das Ergebnis also unendlich, von links minus unendlich, jede Seite zieht uns woandershin. Auch „unendlich“ passt deshalb nicht als Ergebnis von 1:0. Wer mehr wissen möchte, kann in den Artikel über den einseitigen Grenzwert schauen, in dem genau dieses Verhalten beschrieben wird.
Könnte man nicht einfach sagen, dass es unendlich ist?
Probieren wir es aus und schauen, was dabei kaputtgeht. Sagen wir, dass 1:0 = ∞ ist. Dieselbe Überlegung würde auch 2:0 = ∞ ergeben, denn auch die Zwei, geteilt durch immer kleinere Zahlen, wächst über alle Grenzen.
Beide Quotienten überprüfen wir jetzt durch Multiplikation, genau wie am Anfang. Aus 1:0 = ∞ folgt ∞ · 0 = 1 und aus 2:0 = ∞ folgt ∞ · 0 = 2. Die linke Seite ist in beiden Fällen dieselbe, also müsste gelten
Das stimmt natürlich nicht. Mit Unendlich kann man also nicht wie mit einer gewöhnlichen Zahl rechnen.
Mathematiker haben vor neuen Zahlen aber keine Angst. Die Wurzel aus minus eins gibt es in den reellen Zahlen nicht, also haben sie eine neue Zahl i eingeführt, für die i2 = −1 gilt. So entstanden die komplexen Zahlen, und Addition, Multiplikation und das Rechnen mit Klammern funktionieren in ihnen weiterhin. Beim Teilen durch null geht das nicht auf: Wie auch immer die neue Zahl aussähe, wenn für sie die üblichen Rechenregeln gelten würden, kämen wir immer auf etwas wie 1 = 2, und das Rechnen selbst würde zusammenbrechen.
Und was ist null durch null?
Hier ist das Problem umgekehrt. Wäre 0:0 = x, müsste x · 0 = 0 gelten. Diese Gleichung erfüllt aber wirklich jede Zahl: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 und (−7) · 0 = 0. Das Ergebnis wäre nicht eindeutig, wir wüssten nicht, welche Zahl wir wählen sollen, und deshalb definieren wir auch den Quotienten 0:0 nicht. Mehr darüber erfährst du im Artikel über die Division.
Beweis, dass 1 = 2
Die Division durch null kann sich geschickt verstecken. Seien a = b zwei gleiche Zahlen, die nicht null sind. Wir formen um:
Die linke Seite zerlegen wir nach der Formel a2 − b2 = (a + b)(a − b), und aus der rechten klammern wir b aus:
Wegen a = b können wir für a einfach b einsetzen:
Jeder Schritt sieht harmlos aus, und trotzdem haben wir Unsinn „bewiesen“. Wo steckt der Fehler? Versuche, ihn selbst zu finden, bevor du weiterliest.
Der Fehler steckt in der Division durch den Term a − b. Weil a = b ist, gilt a − b = 0, und wir haben die ganze Gleichung also durch null geteilt. Deshalb achtet man beim Umformen von Gleichungen immer darauf, ob der Term, durch den wir teilen, null sein könnte. Die letzte Division durch b ist dagegen in Ordnung, denn b ist nicht null.
