Perché non si può dividere per zero
Prova a digitare 6:0 sulla calcolatrice. La calcolatrice si ribella e, al posto del risultato, scrive «Error» oppure «E». Dietro non c’è nessun capriccio degli insegnanti né dei produttori di calcolatrici. Vedremo alcune ragioni per cui non si può dividere per zero, e tutte arrivano alla stessa conclusione.
La divisione è la moltiplicazione al contrario
Per calcolare 12:3 cerchiamo il numero che, moltiplicato per tre, dà 12. Quel numero è 4, perché
Vale quindi 12:3 = 4. Così si introduce la divisione e ogni quoziente si può poi verificare con la moltiplicazione.
Ora usiamo lo stesso procedimento con lo zero. Se 6:0 fosse un numero x, dovrebbe valere
Ma qualsiasi numero per zero fa zero, lo sappiamo dalla moltiplicazione per zero. Che al posto di x mettiamo uno, un milione o meno tre, viene sempre zero e mai sei. Un tale x semplicemente non esiste, e il quoziente 6:0 perciò non ha nessun risultato.
Quante volte ci sta lo zero?
Si può guardare alla divisione anche come a una sottrazione ripetuta. Il quoziente 12:3 dice quante volte sottraiamo tre da dodici prima di arrivare a zero:
Il tre ci sta quattro volte, quindi 12:3 = 4.
Con 6:0, invece, da sei sottrarremmo solo zeri. Dopo la prima sottrazione resta 6, dopo la decima ancora 6 e dopo la milionesima di nuovo 6, solo che nel frattempo ci stancheremmo. Non arriveremo mai a zero, potremmo sottrarre all’infinito. Non c’è nessun numero di sottrazioni che si possa scrivere come risultato.
Che cosa succede vicino a zero
Per zero non possiamo dividere, ma per numeri molto vicini a zero sì. Prendiamo il numero uno e dividiamolo per numeri sempre più piccoli:
Più piccolo è il divisore, più grande è il risultato. Il divisore 0,000001 dà già un milione e il risultato cresce oltre ogni limite.
Se ci avviciniamo a zero dal lato negativo, per esempio 1:(−0,001) = −1000, il risultato diventa sempre più piccolo e precipita verso meno infinito. Lo mostra bene il grafico della funzione
A destra dello zero la curva schizza verso l’alto, a sinistra dello zero precipita verso il basso. Da destra il risultato si avvicina quindi a infinito, da sinistra a meno infinito: ogni lato ci tira da una parte diversa. Perciò nemmeno «infinito» va bene come risultato di 1:0. Chi volesse saperne di più può dare un’occhiata all’articolo sul limite unilaterale, dove proprio questo comportamento viene espresso con precisione.
Non si potrebbe semplicemente dire che è infinito?
Proviamo e vediamo che cosa si rompe. Diciamo che 1:0 = ∞. Lo stesso ragionamento darebbe anche 2:0 = ∞, perché anche il due, diviso per numeri sempre più piccoli, cresce oltre ogni limite.
Ora controlliamo entrambi i quozienti con la moltiplicazione, proprio come all’inizio. Da 1:0 = ∞ segue ∞ · 0 = 1 e da 2:0 = ∞ segue ∞ · 0 = 2. Il primo membro è identico nei due casi, quindi dovrebbe valere
Naturalmente non è vero. Con l’infinito, quindi, non si possono fare i conti come con un numero qualsiasi.
I matematici, però, non hanno paura dei numeri nuovi. La radice quadrata di meno uno nell’insieme dei numeri reali non esiste, e così hanno introdotto il nuovo numero i, per il quale vale i2 = −1. Sono nati così i numeri complessi e in essi addizione, moltiplicazione e calcolo con le parentesi continuano a funzionare. Con la divisione per zero questo non funziona: comunque fosse fatto il nuovo numero, se per esso valessero le solite regole di calcolo, arriveremmo sempre a qualcosa come 1 = 2 e il calcolo stesso crollerebbe.
E zero diviso zero?
Qui il problema è opposto. Se 0:0 = x, dovrebbe valere x · 0 = 0. Ma questa equazione è soddisfatta da qualsiasi numero: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 e anche (−7) · 0 = 0. Il risultato non sarebbe univoco, non sapremmo quale numero scegliere, e perciò non definiamo nemmeno il quoziente 0:0. Ne parla più a fondo l’articolo sulla divisione.
Dimostrazione che 1 = 2
La divisione per zero sa nascondersi in modo astuto. Siano dati due numeri uguali a = b, non nulli, e trasformiamo l’uguaglianza:
Scomponiamo il primo membro con la formula a2 − b2 = (a + b)(a − b) e nel secondo raccogliamo b a fattor comune:
Poiché a = b, possiamo sostituire a con b:
Ogni passaggio sembra innocente, eppure abbiamo «dimostrato» un’assurdità. Dov’è l’errore? Prova a scoprirlo prima di continuare a leggere.
L’errore si nasconde nella divisione per l’espressione a − b. Poiché a = b, si ha a − b = 0, e abbiamo quindi diviso l’intera equazione per zero. Per questo, nelle trasformazioni delle equazioni, si controlla sempre che l’espressione per cui dividiamo non possa essere nulla. L’ultima divisione per il numero b è invece corretta, perché b non è nullo.
