De ce nu putem împărți la zero
Încearcă să introduci în calculator 6:0. Calculatorul se revoltă și, în loc de rezultat, afișează ceva de felul „Error” sau „E”. În spatele acestui lucru nu stă un capriciu al profesorilor sau al producătorilor de calculatoare. Vom vedea câteva motive pentru care nu putem împărți la zero și toate duc la aceeași concluzie.
Împărțirea este înmulțirea inversă
Când calculăm 12:3, căutăm numărul care, înmulțit cu trei, dă 12. Un astfel de număr este 4, deoarece
Deci 12:3 = 4. Așa se definește împărțirea, iar orice cât poate fi apoi verificat prin înmulțire.
Acum aplicăm același procedeu în cazul lui zero. Dacă 6:0 ar fi un număr x, ar trebui să avem
Dar orice număr înmulțit cu zero dă zero, știm asta de la înmulțirea cu zero. Fie că în locul lui x punem unu, un milion sau minus trei, obținem mereu zero și niciodată șase. Un astfel de x pur și simplu nu există, de aceea câtul 6:0 nu are niciun rezultat.
De câte ori încape zero?
La împărțire ne putem uita și ca la o scădere repetată. Câtul 12:3 ne spune de câte ori scădem trei din doisprezece până ajungem la zero:
Trei a încăput de patru ori, deci 12:3 = 4.
În schimb, la 6:0 am scădea din șase numai zerouri. După prima scădere rămâne 6, după a zecea tot 6 și după a milioana tot 6, doar că între timp ne plictisim. Nu ajungem niciodată la zero, am putea scădea la nesfârșit. Nu există niciun număr de scăderi pe care l-am putea scrie ca rezultat.
Ce se întâmplă aproape de zero
La zero nu avem voie să împărțim, dar la numere foarte apropiate de zero avem. Să luăm unu și să-l împărțim la numere din ce în ce mai mici:
Cu cât împărțitorul este mai mic, cu atât rezultatul este mai mare. Împărțitorul 0,000001 dă deja un milion, iar rezultatul crește peste orice limită.
Dacă ne apropiem de zero dinspre partea negativă, de exemplu 1:(−0,001) = −1.000, rezultatul devine din ce în ce mai mic și scade spre minus infinit. Se vede bine pe graficul funcției
La dreapta lui zero curba țâșnește în sus, la stânga lui zero se prăbușește în jos. Dinspre dreapta rezultatul se apropie deci de infinit, dinspre stânga de minus infinit, fiecare parte ne trage în altă direcție. Prin urmare, nici „infinit” nu se potrivește ca rezultat al lui 1:0. Dacă vrei să afli mai multe, poți arunca o privire în articolul despre limita laterală, unde tocmai acest comportament se scrie riguros.
Nu am putea spune pur și simplu că este infinit?
Să încercăm și să vedem ce se strică. Să spunem că 1:0 = ∞. Același raționament ar da și 2:0 = ∞, pentru că și doi împărțit la numere din ce în ce mai mici crește peste orice limită.
Acum verificăm ambele câturi prin înmulțire, la fel ca la început. Din 1:0 = ∞ rezultă ∞ · 0 = 1, iar din 2:0 = ∞ rezultă ∞ · 0 = 2. Membrul stâng este același în ambele cazuri, așa că ar trebui să avem
Desigur, asta nu este adevărat. Prin urmare, cu infinitul nu putem calcula ca cu un număr obișnuit.
Matematicienii însă nu se tem de numerele noi. Rădăcina pătrată din minus unu nu există în numerele reale, așa că au introdus un număr nou i, pentru care i2 = −1. Așa au apărut numerele complexe, iar adunarea, înmulțirea și calculul cu paranteze continuă să funcționeze și în ele. La împărțirea la zero asta nu merge: oricum ar arăta un număr nou, dacă pentru el ar fi valabile regulile obișnuite de calcul, am ajunge întotdeauna la ceva de felul 1 = 2 și calculul însuși s-ar destrăma.
Dar zero împărțit la zero?
Aici necazul este invers. Dacă 0:0 = x, ar trebui să avem x · 0 = 0. Această ecuație este însă satisfăcută de absolut orice număr: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 și (−7) · 0 = 0. Rezultatul nu ar fi unic, nu am ști ce număr să alegem și de aceea nici câtul 0:0 nu îl definim. Mai multe despre el găsești în articolul despre împărțire.
Demonstrația că 1 = 2
Împărțirea la zero se poate ascunde cu istețime. Fie două numere egale a = b, care nu sunt nule, și să facem transformări:
Membrul stâng îl descompunem cu ajutorul formulei a2 − b2 = (a + b)(a − b), iar din cel drept scoatem factor comun pe b:
Cum a = b, putem înlocui pe a cu b:
Fiecare pas pare nevinovat și totuși am „demonstrat” o absurditate. Unde este greșeala? Încearcă să o descoperi înainte de a citi mai departe.
Greșeala se ascunde în împărțirea la expresia a − b. Deoarece a = b, avem a − b = 0, deci am împărțit întreaga ecuație la zero. De aceea, la transformările ecuațiilor se verifică mereu dacă expresia la care împărțim nu poate fi nulă. Ultima împărțire la b este, dimpotrivă, în regulă, pentru că b nu este zero.
