Dlaczego nie można dzielić przez zero
Spróbuj wpisać do kalkulatora 6:0. Kalkulator się zbuntuje i zamiast wyniku wyświetli na przykład „Error” albo „E”. Nie stoi za tym kaprys nauczycieli ani producentów kalkulatorów. Przyjrzymy się kilku powodom, dla których nie można dzielić przez zero, i wszystkie prowadzą do tego samego wniosku.
Dzielenie jest odwrotnością mnożenia
Przy obliczaniu 12:3 szukamy liczby, która po pomnożeniu przez trzy da 12. Taką liczbą jest 4, ponieważ
Zatem 12:3 = 4. Tak właśnie wprowadza się dzielenie, a każdy iloraz możemy potem sprawdzić mnożeniem.
Teraz zastosujmy to samo rozumowanie do zera. Gdyby 6:0 było jakąś liczbą x, musiałoby zachodzić
Ale cokolwiek razy zero jest zerem, wiemy to z części o mnożeniu przez zero. Czy za x podstawimy jedynkę, milion, czy minus trzy, zawsze wyjdzie zero, a szóstka nigdy. Takie x po prostu nie istnieje, więc iloraz 6:0 nie ma żadnego wyniku.
Ile razy zero się zmieści?
Na dzielenie można spojrzeć też jak na wielokrotne odejmowanie. Iloraz 12:3 mówi, ile razy musimy odjąć od dwunastu trójkę, żeby dojść do zera:
Trójka zmieściła się cztery razy, więc 12:3 = 4.
Natomiast przy 6:0 odejmowalibyśmy od szóstki same zera. Po pierwszym odjęciu zostaje 6, po dziesiątym też 6, a po milionowym znowu 6, tylko że w międzyczasie przestaje nas to bawić. Do zera nigdy nie dojdziemy, odejmować moglibyśmy w nieskończoność. Nie ma tu żadnej liczby odjęć, którą dałoby się zapisać jako wynik.
Co się dzieje blisko zera
Przez zero dzielić nie wolno, ale przez liczby bardzo bliskie zeru już tak. Weźmy jedynkę i dzielmy ją przez coraz mniejsze liczby:
Im mniejszy dzielnik, tym większy wynik. Dzielnik 0,000001 daje już milion, a wynik rośnie ponad wszelkie granice.
Gdy zbliżamy się do zera od strony ujemnej, na przykład 1:(−0,001) = −1000, wynik jest coraz mniejszy i spada do minus nieskończoności. Dobrze to widać na wykresie funkcji
Na prawo od zera krzywa strzela w górę, na lewo od zera spada w dół. Z prawej strony wynik zbliża się więc do nieskończoności, z lewej do minus nieskończoności, a każda strona ciągnie nas gdzie indziej. Dlatego także „nieskończoność” nie pasuje jako wynik 1:0. Jeśli chcesz wiedzieć więcej, zajrzyj do artykułu o granicy jednostronnej, gdzie takie zachowanie zapisuje się dokładnie.
A może po prostu powiedzieć, że to nieskończoność?
Spróbujmy i zobaczmy, co się zepsuje. Powiedzmy, że 1:0 = ∞. To samo rozumowanie dałoby też 2:0 = ∞, bo dwójka dzielona przez coraz mniejsze liczby również rośnie ponad wszelkie granice.
Oba ilorazy sprawdzimy teraz mnożeniem, tak jak na początku. Z 1:0 = ∞ wynika ∞ · 0 = 1, a z 2:0 = ∞ wynika ∞ · 0 = 2. Lewa strona jest w obu przypadkach taka sama, więc musiałoby zachodzić
To oczywiście nieprawda. Z nieskończonością nie można więc liczyć jak ze zwykłą liczbą.
Matematycy jednak nie boją się nowych liczb. Pierwiastek z minus jedynki w liczbach rzeczywistych nie istnieje, więc wprowadzili nową liczbę i, dla której i2 = −1. Powstały w ten sposób liczby zespolone, a dodawanie, mnożenie i rachunki z nawiasami nadal w nich działają. Przy dzieleniu przez zero to się nie uda: jakkolwiek wyglądałaby nowa liczba, gdyby obowiązywały dla niej zwykłe reguły rachunkowe, zawsze doszlibyśmy do czegoś w rodzaju 1 = 2 i samo liczenie by się rozpadło.
A co z zerem podzielonym przez zero?
Tu kłopot jest odwrotny. Gdyby 0:0 = x, musiałoby zachodzić x · 0 = 0. To równanie spełnia jednak każda liczba: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 i (−7) · 0 = 0. Wynik nie byłby jednoznaczny, nie wiedzielibyśmy, którą liczbę wybrać, i dlatego iloraz 0:0 również nie jest zdefiniowany. Więcej o nim przeczytasz w artykule o dzieleniu.
Dowód, że 1 = 2
Dzielenie przez zero potrafi się sprytnie ukryć. Weźmy dwie równe liczby a = b, które nie są zerami, i przekształcajmy:
Lewą stronę rozłożymy według wzoru a2 − b2 = (a + b)(a − b), a z prawej wyłączymy b przed nawias:
Skoro a = b, możemy za a podstawić b:
Każdy krok wygląda niewinnie, a mimo to „udowodniliśmy” bzdurę. Gdzie jest błąd? Spróbuj go znaleźć, zanim przeczytasz dalej.
Błąd kryje się w dzieleniu przez wyrażenie a − b. Ponieważ a = b, mamy a − b = 0, a więc całe równanie podzieliliśmy przez zero. Dlatego przy przekształcaniu równań zawsze pilnujemy, czy wyrażenie, przez które dzielimy, nie może być równe zeru. Ostatnie dzielenie przez b jest natomiast w porządku, bo b nie jest zerem.
