Hvorfor man ikke kan dividere med nul
Prøv at taste 6:0 ind på lommeregneren. Lommeregneren gør oprør og skriver i stedet for et resultat for eksempel »Error« eller »E«. Det skyldes hverken lærernes eller lommeregnerproducenternes luner. Vi ser på flere grunde til, at man ikke kan dividere med nul, og alle fører til den samme konklusion.
Division er omvendt multiplikation
Når vi beregner 12:3, søger vi det tal, som giver 12, når det ganges med tre. Det tal er 4, fordi
Der gælder altså 12:3 = 4. Sådan indføres division, og hver kvotient kan vi derefter kontrollere ved at gange.
Nu bruger vi den samme fremgangsmåde på nul. Hvis 6:0 var et tal x, skulle der gælde
Men alt gange nul er nul, det ved vi fra multiplikation med nul. Uanset om vi indsætter 1, en million eller minus tre for x, får vi altid nul og aldrig seks. Sådan et x findes simpelthen ikke, og kvotienten 6:0 har derfor intet resultat.
Hvor mange gange går nul op?
Division kan man også se som gentagen subtraktion. Kvotienten 12:3 fortæller, hvor mange gange vi trækker tre fra tolv, før vi når nul:
Tre gik op fire gange, så 12:3 = 4.
Ved 6:0 ville vi derimod trække lutter nuller fra seks. Efter den første subtraktion er der stadig 6 tilbage, efter den tiende også 6 og efter den millionte igen 6, men inden da er vi for længst blevet trætte af det. Vi når aldrig nul, vi kunne blive ved i det uendelige. Der findes ikke noget antal subtraktioner, som kunne skrives op som resultat.
Hvad sker der tæt på nul
Vi må ikke dividere med nul, men vi må dividere med tal, der ligger meget tæt på nul. Lad os tage tallet 1 og dividere det med stadig mindre tal:
Jo mindre divisor, desto større resultat. Divisoren 0,000001 giver allerede en million, og resultatet vokser over alle grænser.
Når vi nærmer os nul fra den negative side, for eksempel 1:(−0,001) = −1000, bliver resultatet stadig mindre og falder mod minus uendelig. Det viser grafen for funktionen
Til højre for nul skyder kurven opad, til venstre for nul styrter den nedad. Fra højre nærmer resultatet sig altså uendelig, fra venstre minus uendelig, og hver side trækker os i sin retning. Heller ikke »uendelig« passer derfor som resultat af 1:0. Hvis du vil vide mere, kan du kigge i artiklen om ensidet grænseværdi, hvor netop denne opførsel skrives op præcist.
Kunne vi ikke bare sige, at det er uendelig?
Lad os prøve og se, hvad der går i stykker. Lad os sige, at 1:0 = ∞. Den samme tankegang ville også give 2:0 = ∞, fordi også to divideret med stadig mindre tal vokser over alle grænser.
Begge kvotienter kontrollerer vi nu ved at gange, ligesom i begyndelsen. Af 1:0 = ∞ følger ∞ · 0 = 1, og af 2:0 = ∞ følger ∞ · 0 = 2. Venstresiden er i begge tilfælde den samme, så der skulle gælde
Det gælder naturligvis ikke. Med uendeligheden kan man altså ikke regne som med et almindeligt tal.
Men matematikere er ikke bange for nye tal. Kvadratroden af minus en findes ikke i de reelle tal, og derfor indførte man det nye tal i, for hvilket der gælder i2 = −1. Sådan opstod de komplekse tal, og addition, multiplikation og regning med parenteser fungerer stadig i dem. Ved division med nul går det ikke: uanset hvordan det nye tal så ud, ville vi, hvis de sædvanlige regneregler gjaldt for det, altid ende ved noget i retning af 1 = 2, og selve regningen ville falde fra hinanden.
Og hvad med nul divideret med nul?
Her er problemet det modsatte. Hvis 0:0 = x, skulle der gælde x · 0 = 0. Men denne ligning opfyldes af absolut ethvert tal: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 og (−7) · 0 = 0. Resultatet ville ikke være entydigt, vi ville ikke vide, hvilket tal vi skulle vælge, og derfor definerer vi heller ikke kvotienten 0:0. Mere om den kan du læse i artiklen om division.
Bevis for, at 1 = 2
Division med nul kan gemme sig snedigt. Lad a = b være to ens tal, som ikke er nul, og lad os omskrive:
Venstresiden opløser vi ifølge formlen a2 − b2 = (a + b)(a − b), og på højresiden sætter vi b uden for parentes:
Eftersom a = b, kan vi indsætte b for a:
Hvert skridt ser uskyldigt ud, og alligevel har vi »bevist« noget vrøvl. Hvor skete fejlen? Prøv at finde den, før du læser videre.
Fejlen gemmer sig i divisionen med udtrykket a − b. Fordi a = b, er a − b = 0, og vi har altså divideret hele ligningen med nul. Derfor passer man ved omformning af ligninger altid på, om det udtryk, vi dividerer med, kan være nul. Den sidste division med tallet b er derimod i orden, fordi b ikke er nul.
