Pourquoi on ne peut pas diviser par zéro
Essaie de taper 6:0 sur une calculatrice. La calculatrice se rebelle et affiche à la place « Error » ou « E ». Ce n’est ni un caprice des professeurs ni celui des fabricants de calculatrices. Voyons plusieurs raisons pour lesquelles on ne peut pas diviser par zéro : toutes aboutissent à la même conclusion.
La division est une multiplication à l’envers
Pour calculer 12:3, on cherche le nombre qui, multiplié par trois, donne 12. Ce nombre est 4, car
Donc 12:3 = 4. C’est ainsi qu’on introduit la division, et chaque quotient peut ensuite être vérifié par une multiplication.
Appliquons maintenant le même raisonnement au zéro. Si 6:0 était un nombre x, il faudrait que
Or tout nombre multiplié par zéro vaut zéro, comme on le sait grâce à la multiplication par zéro. Que l’on remplace x par un, par un million ou par moins trois, on obtient toujours zéro, et jamais six. Un tel x n’existe donc pas, et le quotient 6:0 n’a par conséquent aucun résultat.
Combien de fois le zéro tient-il ?
On peut aussi voir la division comme une soustraction répétée. Le quotient 12:3 indique combien de fois on retranche trois de douze avant d’arriver à zéro :
Le trois a été retranché quatre fois, donc 12:3 = 4.
En revanche, pour 6:0, on retrancherait sans cesse zéro de six. Après la première soustraction il reste 6, après la dixième encore 6, et après la millionième toujours 6, sauf qu’entre-temps on s’en sera lassé. On n’arrivera jamais à zéro, on pourrait soustraire indéfiniment. Il n’existe ici aucun nombre de soustractions qu’on pourrait écrire comme résultat.
Que se passe-t-il près de zéro ?
On ne peut pas diviser par zéro, mais on peut diviser par des nombres très proches de zéro. Prenons un et divisons-le par des nombres de plus en plus petits :
Plus le diviseur est petit, plus le résultat est grand. Le diviseur 0,000001 donne déjà un million, et le résultat croît au-delà de toute borne.
Si l’on s’approche de zéro par la gauche, par exemple 1:(−0,001) = −1 000, le résultat est de plus en plus petit et tend vers moins l’infini. Le graphe de la fonction
À droite de zéro, la courbe monte en flèche ; à gauche de zéro, elle plonge vers le bas. Par la droite, le résultat tend donc vers l’infini, par la gauche vers moins l’infini : chaque côté nous entraîne dans une direction différente. « L’infini » ne convient donc pas comme résultat de 1:0. Qui veut en savoir davantage peut consulter l’article sur la limite unilatérale, où l’on écrit précisément ce comportement.
Ne pourrait-on pas simplement dire que c’est l’infini ?
Essayons, et voyons ce qui se casse. Supposons que 1:0 = ∞. Le même raisonnement donnerait aussi 2:0 = ∞, car deux, divisé par des nombres de plus en plus petits, croît lui aussi au-delà de toute borne.
Vérifions ces deux quotients par multiplication, comme au début. De 1:0 = ∞ découle ∞ · 0 = 1, et de 2:0 = ∞ découle ∞ · 0 = 2. Le membre de gauche est le même dans les deux cas, il faudrait donc que
Or ce n’est évidemment pas vrai. Avec l’infini, on ne peut donc pas calculer comme avec un nombre ordinaire.
Les mathématiciens, eux, ne craignent pas les nouveaux nombres. La racine carrée de moins un n’existe pas dans les nombres réels ; ils ont donc introduit un nouveau nombre i tel que i2 = −1. Ainsi sont nés les nombres complexes, dans lesquels l’addition, la multiplication et le calcul avec des parenthèses fonctionnent toujours. Avec la division par zéro, cela ne marche pas : quelle que soit la forme du nouveau nombre, si les règles habituelles de calcul devaient s’y appliquer, on aboutirait toujours à quelque chose comme 1 = 2, et le calcul lui-même s’effondrerait.
Et zéro divisé par zéro ?
Ici la difficulté est inverse. Si 0:0 = x, il faudrait que x · 0 = 0. Or cette équation est satisfaite par n’importe quel nombre : 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 et (−7) · 0 = 0. Le résultat ne serait pas unique, on ne saurait lequel choisir, et c’est pourquoi on ne définit pas non plus le quotient 0:0. Tu en liras davantage dans l’article sur la division.
Démonstration que 1 = 2
La division par zéro sait se cacher. Prenons deux nombres égaux a = b, non nuls, et effectuons les transformations suivantes :
Factorisons le membre de gauche selon la formule a2 − b2 = (a + b)(a − b) et, à droite, mettons b en facteur :
Comme a = b, on peut remplacer a par b :
Chaque étape semble innocente, et pourtant nous avons « démontré » une absurdité. Où est l’erreur ? Essaie de la trouver avant de poursuivre la lecture.
L’erreur se cache dans la division par l’expression a − b. Comme a = b, on a a − b = 0, et nous avons donc divisé toute l’équation par zéro. C’est pourquoi, lors des transformations d’équations, on vérifie toujours si l’expression par laquelle on divise ne peut pas être nulle. La dernière division par le nombre b, en revanche, est correcte, car b n’est pas nul.
