Por que não dá para dividir por zero
Tente digitar 6:0 na calculadora. A calculadora se rebela e, em vez do resultado, escreve algo como “Error” ou “E”. Por trás disso não há capricho dos professores nem dos fabricantes de calculadoras. Vamos ver alguns motivos pelos quais não dá para dividir por zero, e todos chegam à mesma conclusão.
A divisão é uma multiplicação ao contrário
Ao calcular 12:3, procuramos o número que, multiplicado por três, dá 12. Esse número é 4, porque
Portanto vale 12:3 = 4. É assim que se introduz a divisão, e cada quociente pode então ser verificado com a multiplicação.
Agora aplicamos o mesmo procedimento ao zero. Se 6:0 fosse algum número x, teria de valer
Só que qualquer número vezes zero é zero, isso sabemos pela multiplicação por zero. Seja qual for o valor que colocarmos no lugar de x, um, um milhão ou menos três, sempre dá zero e nunca seis. Esse x simplesmente não existe, e por isso o quociente 6:0 não tem resultado nenhum.
Quantas vezes o zero cabe?
Também podemos olhar para a divisão como uma subtração repetida. O quociente 12:3 diz quantas vezes subtraímos três de doze até chegar a zero:
O três coube quatro vezes, então 12:3 = 4.
Já em 6:0 subtrairíamos do seis só zeros. Depois da primeira subtração continua 6, depois da décima também 6 e depois da milionésima de novo 6, só que, enquanto isso, já teremos perdido a paciência. Nunca chegamos a zero, poderíamos subtrair indefinidamente. Não existe nenhuma quantidade de subtrações que possa ser escrita como resultado.
O que acontece perto de zero
Não podemos dividir por zero, mas podemos dividir por números muito próximos de zero. Tomemos o um e dividamos por números cada vez menores:
Quanto menor o divisor, maior o resultado. O divisor 0,000001 já dá um milhão, e o resultado cresce além de qualquer limite.
Se nos aproximamos de zero pelo lado negativo, por exemplo 1:(−0,001) = −1.000, o resultado fica cada vez menor e despenca para menos infinito. O gráfico da função
À direita do zero a curva dispara para cima, à esquerda do zero ela despenca para baixo. Pela direita, portanto, o resultado se aproxima do infinito, pela esquerda, do menos infinito, e cada lado nos puxa para um lugar diferente. Por isso nem o “infinito” serve como resultado de 1:0. Quem quiser saber mais pode dar uma olhada no artigo sobre o limite lateral, onde esse comportamento é escrito com precisão.
Não dá para simplesmente dizer que é infinito?
Vamos tentar e ver o que quebra. Digamos que 1:0 = ∞. O mesmo raciocínio daria também 2:0 = ∞, porque o dois dividido por números cada vez menores também cresce além de qualquer limite.
Agora verificamos os dois quocientes com a multiplicação, como no começo. De 1:0 = ∞ decorre ∞ · 0 = 1 e de 2:0 = ∞ decorre ∞ · 0 = 2. O lado esquerdo é o mesmo nos dois casos, então teria de valer
Isso, é claro, não vale. Com o infinito não dá, portanto, para calcular como se fosse um número comum.
Os matemáticos, porém, não têm medo de números novos. A raiz quadrada de menos um não existe nos números reais, e então eles introduziram um novo número i, para o qual vale i2 = −1. Surgiram assim os números complexos, e neles a adição, a multiplicação e o cálculo com parênteses continuam funcionando. Com a divisão por zero isso não dá certo: qualquer que fosse a forma do novo número, se valessem para ele as regras usuais de cálculo, sempre chegaríamos a algo como 1 = 2 e o próprio cálculo desmoronaria.
E zero dividido por zero?
Aqui o problema é o oposto. Se 0:0 = x, teria de valer x · 0 = 0. Só que essa equação é satisfeita por absolutamente qualquer número: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 e (−7) · 0 = 0. O resultado não seria único, não saberíamos qual número escolher, e por isso o quociente 0:0 também não é definido. Você pode ler mais sobre ele no artigo sobre a divisão.
Prova de que 1 = 2
A divisão por zero sabe se esconder muito bem. Sejam dois números iguais a = b, que não são nulos, e façamos as transformações:
Fatoramos o lado esquerdo pela fórmula a2 − b2 = (a + b)(a − b) e, do lado direito, colocamos em evidência o b:
Como a = b, podemos substituir a por b:
Cada passo parece inocente e, mesmo assim, “provamos” um absurdo. Onde está o erro? Tente descobri-lo antes de continuar lendo.
O erro se esconde na divisão pela expressão a − b. Como a = b, temos a − b = 0, e portanto dividimos a equação inteira por zero. Por isso, nas transformações de equações, sempre se verifica se a expressão pela qual dividimos pode ser zero. A última divisão pelo número b, por outro lado, está correta, porque b não é nulo.
