Varför man inte kan dividera med noll
Prova att skriva 6:0 på miniräknaren. Miniräknaren protesterar och skriver i stället för ett resultat till exempel ”Error” eller ”E”. Bakom det ligger varken lärarnas eller miniräknartillverkarnas nycker. Vi ska titta på flera skäl till att man inte kan dividera med noll, och alla leder till samma slutsats.
Division är omvänd multiplikation
När vi beräknar 12:3 söker vi det tal som ger 12 när vi multiplicerar det med tre. Det talet är 4, eftersom
Alltså är 12:3 = 4. Så införs division, och varje kvot kan sedan kontrolleras med multiplikation.
Nu använder vi samma tillvägagångssätt på noll. Om 6:0 vore något tal x skulle det gälla att
Men allt gånger noll är noll, det vet vi från multiplikation med noll. Vare sig vi sätter in ett, en miljon eller minus tre för x blir resultatet alltid noll och aldrig sex. Något sådant x finns helt enkelt inte, och kvoten 6:0 saknar därför resultat.
Hur många gånger ryms noll?
Division kan också ses som upprepad subtraktion. Kvoten 12:3 säger hur många gånger vi kan subtrahera tre från tolv innan vi kommer fram till noll:
Trean ryms fyra gånger, så 12:3 = 4.
Vid 6:0 skulle vi däremot subtrahera bara nollor från sexan. Efter den första subtraktionen återstår 6, efter den tionde också 6 och efter den miljonte återigen 6 – om vi inte har tröttnat långt innan dess. Vi kommer aldrig fram till noll, vi skulle kunna fortsätta i all oändlighet. Det finns inget antal subtraktioner som går att skriva som resultat.
Vad som händer nära noll
Vi får inte dividera med noll, men vi får dividera med tal som ligger mycket nära noll. Vi tar ett och dividerar det med allt mindre tal:
Ju mindre divisor, desto större resultat. Divisorn 0,000001 ger redan en miljon, och resultatet växer över alla gränser.
Om vi närmar oss noll från den negativa sidan, till exempel 1:(−0,001) = −1000, blir resultatet allt mindre och faller mot minus oändligheten. Grafen till funktionen
Till höger om noll skjuter kurvan uppåt, till vänster om noll störtar den nedåt. Från höger närmar sig alltså resultatet oändligheten, från vänster minus oändligheten, och varje sida drar åt sitt håll. Inte heller ”oändligheten” passar därför som resultat av 1:0. Den som vill veta mer kan titta i artikeln om ensidiga gränsvärden, där just det här beteendet beskrivs exakt.
Kan man inte bara säga att det blir oändligheten?
Låt oss pröva och se vad som går sönder. Säg att 1:0 = ∞. Samma resonemang skulle ge även 2:0 = ∞, eftersom även tvåan växer över alla gränser när vi dividerar den med allt mindre tal.
Nu kontrollerar vi båda kvoterna med multiplikation, precis som i början. Av 1:0 = ∞ följer ∞ · 0 = 1 och av 2:0 = ∞ följer ∞ · 0 = 2. Vänsterledet är lika i båda fallen, så det skulle gälla att
Det stämmer förstås inte. Med oändligheten kan man alltså inte räkna som med ett vanligt tal.
Matematiker är dock inte rädda för nya tal. Kvadratroten ur minus ett finns inte bland de reella talen, så de införde ett nytt tal i för vilket det gäller att i2 = −1. Så uppstod de komplexa talen, och addition, multiplikation och parentesräkning fungerar fortfarande i dem. Vid division med noll går det inte: hur det nya talet än skulle se ut, skulle vi alltid, om de vanliga räknereglerna gällde för det, hamna i något i stil med 1 = 2, och själva räknandet skulle falla samman.
Och hur är det med noll delat med noll?
Här är problemet det motsatta. Om 0:0 = x skulle det gälla att x · 0 = 0. Men den ekvationen uppfylls av absolut varje tal: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 och (−7) · 0 = 0. Resultatet skulle inte vara entydigt, vi skulle inte veta vilket tal vi ska välja, och därför definierar vi inte heller kvoten 0:0. Mer om den kan du läsa i artikeln om division.
Ett bevis för att 1 = 2
Division med noll kan gömma sig skickligt. Vi har två lika tal a = b som inte är noll, och vi omformar:
Vänsterledet faktoriserar vi med formeln a2 − b2 = (a + b)(a − b) och i högerledet bryter vi ut b:
Eftersom a = b kan vi sätta in b för a:
Varje steg ser oskyldigt ut, och ändå har vi ”bevisat” nonsens. Var gjordes felet? Försök hitta det innan du läser vidare.
Felet gömmer sig i divisionen med uttrycket a − b. Eftersom a = b är a − b = 0, och hela ekvationen har alltså dividerats med noll. Därför gäller det vid ekvationsomformningar alltid att kontrollera att uttrycket vi dividerar med inte kan vara noll. Den sista divisionen med talet b är däremot i sin ordning, eftersom b inte är noll.
