Διανύσματα

Το διάνυσμα είναι ένα μέγεθος που, εκτός από μέτρο, έχει και κατεύθυνση. Έτσι διαφέρει από έναν συνηθισμένο αριθμό, δηλαδή το βαθμωτό μέγεθος, που έχει μόνο μέτρο.

Προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα

Έχουμε στο επίπεδο δύο διαφορετικά σημεία A, B. Ανάμεσα σε αυτά τα σημεία μπορούμε να φέρουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα. Το τμήμα αυτό το γράφουμε συνήθως AB, και δεν έχει σημασία η σειρά των σημείων. Το τμήμα AB είναι ακριβώς το ίδιο με το τμήμα BA.

Αυτό δεν μας βολεύει πάντα, γι᾽ αυτό εισάγουμε την έννοια του προσανατολισμένου ευθύγραμμου τμήματος, στο οποίο ξεχωρίζουμε την αρχή και το πέρας. Το προσανατολισμένο τμήμα AB έχει αρχή το A και πέρας το B. Στο σχήμα το σχεδιάζουμε με βέλος, ενώ στο κείμενο το γράφουμε με βέλος πάνω από τα σημεία: $\overrightarrow{AB}$. Παράδειγμα:

Με μπλε φαίνεται το ευθύγραμμο τμήμα AB, με κόκκινο το προσανατολισμένο τμήμα $\overrightarrow{CD}$. Αν έχουμε ένα προσανατολισμένο τμήμα $\overrightarrow{AB}$ για το οποίο ισχύει A = B, το λέμε μηδενικό προσανατολισμένο τμήμα. Ένα τέτοιο τμήμα έχει την ίδια αρχή και το ίδιο πέρας και δεν θα το έλεγε κανείς καν τμήμα, αφού στην πραγματικότητα είναι απλώς ένα σημείο.

Το μέτρο ενός προσανατολισμένου τμήματος είναι ίσο με το μήκος του συνηθισμένου τμήματος. Ισχύει $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Κατεύθυνση προσανατολισμένου τμήματος

Δες τα ακόλουθα δύο προσανατολισμένα τμήματα $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{CD}$:

Με την πρώτη ματιά φαίνεται ότι τα προσανατολισμένα τμήματα έχουν την ίδια κατεύθυνση. Αν και θα μπορούσαμε να ορίσουμε αυστηρά την έννοια «κατεύθυνση», προτιμούμε να μείνουμε στη διαισθητική της κατανόηση. Με απλά λόγια, δύο προσανατολισμένα τμήματα έχουν την ίδια κατεύθυνση αν είναι παράλληλα και αν το ένα δεν δείχνει προς την αντίθετη πλευρά από το άλλο. Όλα τα παρακάτω ζεύγη προσανατολισμένων τμημάτων έχουν την ίδια κατεύθυνση:

Τα τελευταία, πράσινα, τμήματα είναι τα προσανατολισμένα τμήματα $\overrightarrow{IJ}$ και $\overrightarrow{IK}$. Ακολουθεί παράδειγμα ζευγών τμημάτων που δεν έχουν την ίδια κατεύθυνση:

Τι είναι το διάνυσμα

Ας γυρίσουμε στο σχήμα με τα δύο προσανατολισμένα τμήματα που έχουν την ίδια κατεύθυνση:

Βλέπουμε ότι αυτά τα προσανατολισμένα τμήματα έχουν όχι μόνο την ίδια κατεύθυνση αλλά και το ίδιο μέτρο. Η μόνη διαφορά τους είναι ότι βρίσκονται σε διαφορετικό σημείο. Τέτοια προσανατολισμένα τμήματα, που έχουν την ίδια κατεύθυνση και το ίδιο μέτρο, παριστάνουν ένα και το αυτό διάνυσμα.

Ένα διάνυσμα μπορούμε λοιπόν να το σχεδιάσουμε στο επίπεδο (στον χώρο…) με άπειρους τρόπους – αρκεί να πάρουμε οποιοδήποτε προσανατολισμένο τμήμα που έχει την ίδια κατεύθυνση και το ίδιο μέτρο με το δοσμένο διάνυσμα. Τα παρακάτω προσανατολισμένα τμήματα παριστάνουν όλα ένα διάνυσμα:

Το διάνυσμα καθορίζεται μόνο από το μέτρο και την κατεύθυνσή του. Το μέτρο και η κατεύθυνση του διανύσματος είναι ίδια με το μέτρο και την κατεύθυνση του προσανατολισμένου τμήματος που το παριστάνει. Τα διανύσματα τα γράφουμε συνήθως με βέλος, όπως και το προσανατολισμένο τμήμα. Μπορούμε έτσι να έχουμε το διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ ή, πιο σύντομα, το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$.

Ένα συγκεκριμένο προσανατολισμένο τμήμα αποτελεί τότε τον αντιπρόσωπο του διανύσματος. Στο προηγούμενο σχήμα έχουμε συνολικά 7 προσανατολισμένα τμήματα, και καθένα ορίζει διαφορετικό αντιπρόσωπο του διανύσματος. Τα προσανατολισμένα τμήματα $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{MN}$ παριστάνουν το ίδιο διάνυσμα, ας πούμε $\overrightarrow{v}$, αλλά πρόκειται για δύο διαφορετικούς αντιπροσώπους του $\overrightarrow{v}$.

Συγγραμμικά διανύσματα

Έχουμε δύο διανύσματα $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$. Λέμε ότι αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά αν είναι παράλληλα. Τα διανύσματα $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ δεν χρειάζεται να έχουν το ίδιο μέτρο. Η κατεύθυνση πρέπει να είναι είτε ίδια είτε αντίθετη. Παραδείγματα συγγραμμικών διανυσμάτων:

Όλα τα κόκκινα διανύσματα είναι συγγραμμικά – είναι παράλληλα. Δεν έχει πια σημασία αν δείχνουν προς την πάνω δεξιά γωνία ή προς την κάτω αριστερή. Το μπλε διάνυσμα $\overrightarrow{GH}$ δεν είναι συγγραμμικό.

Αν όμως τα συγγραμμικά διανύσματα έχουν την ίδια φορά, λέμε ότι είναι ομόρροπα, ενώ αν δεν έχουν την ίδια φορά, είναι αντίρροπα. Ας γυρίσουμε στο προηγούμενο σχήμα: τα διανύσματα $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{EF}$ είναι ομόρροπα, ενώ τα διανύσματα $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{KL}$ είναι αντίρροπα.

Συντεταγμένες διανυσμάτων

Ήδη ξέρουμε ότι ένα διάνυσμα μπορεί να παρασταθεί με άπειρα προσανατολισμένα τμήματα. Ένα από αυτά έχει την αρχή του στην αρχή των αξόνων, στο σημείο (0, 0) όταν μιλάμε για το επίπεδο και στο σημείο (0, 0, 0) όταν μιλάμε για τον χώρο. Δες το ακόλουθο σχήμα:

Τα προσανατολισμένα τμήματα $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{CD}$ έχουν την ίδια κατεύθυνση και το ίδιο μέτρο, είναι ένα διάνυσμα. Μάλιστα το τμήμα $\overrightarrow{CD}$ ξεκινά από την αρχή των αξόνων, οι συντεταγμένες του σημείου C είναι (0, 0). Το ίδιο ισχύει για το ζεύγος των τμημάτων $\overrightarrow{EF}$ και $\overrightarrow{KL}$.

Αφού ξέρουμε ότι τα τμήματα $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ ξεκινούν από την αρχή των αξόνων, μπορούμε να συμφωνήσουμε ότι αυτά τα διανύσματα θα τα συμβολίζουμε μόνο με το πέρας τους. Η αρχή είναι η ίδια (είναι η αρχή των αξόνων), οπότε για να ξεχωρίσουμε τα τμήματα $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ αρκεί να γράψουμε τα πέρατά τους.

Λέμε ότι το διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$, και άρα και το διάνυσμα $\overrightarrow{CD}$, έχει συντεταγμένες (3, 1), που είναι οι συντεταγμένες του σημείου D – του πέρατος του τμήματος $\overrightarrow{CD}$. Το διάνυσμα $\overrightarrow{KL}$ έχει τότε συντεταγμένες (−1, 4), τις συντεταγμένες του σημείου F.

Πώς υπολογίζουμε τις συντεταγμένες διανύσματος

Τώρα ο μαθηματικός τρόπος προσδιορισμού των συντεταγμένων ενός διανύσματος. Ξεκινάμε από το ότι ξέρουμε τις συντεταγμένες των σημείων A, B που ορίζουν το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$. Έστω λοιπόν το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ που ορίζεται από τα σημεία A(2, 3) και B(5, 4). Είναι το κόκκινο διάνυσμα που βρίσκεται πιο πάνω στο προηγούμενο σχήμα. Πώς θα βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου D, δηλαδή του πέρατος του προσανατολισμένου τμήματος που παριστάνει το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ και ξεκινά από την αρχή των αξόνων;

Απλώς μετατοπίζουμε ολόκληρο το τμήμα $\overrightarrow{AB}$ στην αρχή των αξόνων. Για να φέρουμε το σημείο A στην αρχή των αξόνων, πρέπει να το μετακινήσουμε κατά 2 τετραγωνάκια αριστερά και κατά 3 τετραγωνάκια κάτω. Το ίδιο και με το σημείο B. Με άλλα λόγια: και από τα δύο σημεία A και B αφαιρούμε τις συντεταγμένες του σημείου A. Έτσι μεταφέρουμε το τμήμα $\overrightarrow{AB}$ εκεί όπου είναι σχεδιασμένο το τμήμα $\overrightarrow{CD}$. Μπορούμε να γράψουμε:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2,3)-(2,3)& =& (0,0)\\ B-A=(5,4)-(2,3)& =& (3,1)\end{array}$$

Οι συντεταγμένες του διανύσματος $\overrightarrow{u}$ είναι λοιπόν οι συντεταγμένες (3, 1) του πέρατος του προσανατολισμένου τμήματος που έχει αρχή την αρχή των αξόνων.

Μπορούμε να γράψουμε ότι αν το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ ορίζεται από τα σημεία A(x₁, y₁) και B(x₂, y₂), τότε τις συντεταγμένες του διανύσματος $\overrightarrow{u}$ τις βρίσκουμε ως εξής:

$$B-A=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$

Τις συντεταγμένες του διανύσματος $\overrightarrow{u}$ τις γράφουμε σε παρένθεση, οπότε οι συντεταγμένες του προηγούμενου διανύσματος $\overrightarrow{u}$ γράφονται ως εξής: $\overrightarrow{u}=(3,1)$.

Μπορούμε ακόμα να γυρίσουμε στο σχήμα και να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος $\overrightarrow{KL}$. Οι συντεταγμένες των σημείων K και L είναι K(−2, 1), L(−3, 5). Οι συντεταγμένες του διανύσματος θα είναι

$$L-K=(-3,5)-(-2,1)=(-1,4)$$

Βλέπουμε ότι βρήκαμε σωστά τις συντεταγμένες του σημείου F.

Πώς υπολογίζουμε το μέτρο διανυσμάτων

Αφού ξέρουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε το μέτρο τους. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα εύκολα προκύπτει ότι το μέτρο ενός διανύσματος με συντεταγμένες $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$ στο επίπεδο είναι

$$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

Στο ακόλουθο σχήμα βλέπουμε ότι οι συντεταγμένες του διανύσματος συμπίπτουν με τα μήκη των πλευρών του τριγώνου που σχηματίσαμε και ότι με το Πυθαγόρειο θεώρημα πράγματι υπολογίζουμε εύκολα το μέτρο του διανύσματος.

Αν έχουμε το διάνυσμα $\overrightarrow{u}=(2,4)$, το μέτρο του θα είναι

$$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Και τώρα ακολουθούν δύο ασκήσεις για εξάσκηση στην ύλη που είδαμε.

1. Βρες τις συντεταγμένες του διανύσματος u που ορίζεται από τα σημεία A(3, 7), B(−1, 0). Εδώ η διαδικασία είναι εντελώς απλή και άμεση. $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Το διάνυσμα έχει λοιπόν συντεταγμένες $\overrightarrow{u}=(-4,-7)$

2. Ξέρουμε ότι το διάνυσμα $\overrightarrow{u}$ έχει συντεταγμένες $\overrightarrow{u}=(2,3)$ και ορίζεται από τα σημεία A(6, 6) και B(x₁, y₁), δηλαδή $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$. Βρες τις συντεταγμένες του σημείου B.

   Γράφουμε πάλι την παλιά γνώριμη εξίσωση και τη λύνουμε ως προς τον άγνωστο:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   Τη δεύτερη συντεταγμένη τη βρίσκουμε με την ίδια ακριβώς διαδικασία:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Το σημείο B έχει συντεταγμένες (8, 9).