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¿Hay más números pares o impares?

¿Tú qué crees? ¿De qué números hay más? ¿Pares o impares? ¿O hay la misma cantidad? ¿Cómo podríamos decidirlo? ¿Y qué pasa con otros números? ¿Hay más números pares o más números naturales? ¿Más naturales o más números racionales? No es tan sencillo, porque de todos los números mencionados hay infinitos. Aun así, somos capaces de compararlos y averiguar de cuáles hay más y de cuáles hay menos.

Probemos a mostrarlo con un conjunto pequeño de números. Imaginemos dos conjuntos de números: los números azules y los números rojos:

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¿Podemos decir de alguna manera de qué números hay más? ¿De los rojos o de los azules? Se ve claramente que… ¿Cómo? ¿Que eres daltónico y no lo ves claro? Bueno, está bien, a partir de ahora mostraremos además los números rojos como cuadraditos:

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Bien, ahora sí se ve claramente que hay más números azules que rojos. Ha sido fácil porque trabajamos con conjuntos finitos de números, así que hemos podido contarlos. Vemos que tenemos seis números azules y solo tres rojos. Los conjuntos infinitos no serán tan sencillos, porque no podemos contarlos. Respondamos, pues, a la pregunta del título: ¿hay más números pares o impares? Para simplificar, quedémonos con los números positivos. Imagina un saco lleno de todos los números impares y un saco lleno de todos los pares. ¿Qué saco es más grande?

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Pues bien, imaginar una cantidad infinita de números no es nada fácil, y contarlos es todavía más difícil. ¿No existe alguna otra manera de comparar los tamaños de los conjuntos?

Comparación de dos conjuntos finitos

Imagina que tenemos un saco lleno de novios y un saco lleno de novias. Si para cada novio tenemos una novia y para cada novia un novio, podemos decir que tenemos el mismo número de novios que de novias:

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

¿Lo ves? Cada novia de la primera fila tiene su propio esposo en la segunda fila y viceversa: cada esposo tiene su propia esposa. Pero también podría darse otro caso: cada novia tendría su esposo, pero no todos los esposos tendrían novia:

👰 👰 👰 👰 👰 ❌

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Cada esposa tiene esposo, pero uno de los esposos se queda compuesto y sin novia. En este momento, como nos sobra un esposo, podemos decir que tenemos más esposos que esposas. De manera parecida, si sobra una novia

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

podemos decir que tenemos más novias que esposos.

Comparación de dos conjuntos infinitos

¿Podemos usar este procedimiento para comparar dos conjuntos infinitos? ¿Podemos emparejar cada número impar con algún número par y cada número par con algún número impar, sin utilizar ningún número más de una vez? ¡Sí podemos! Cada número impar n lo podemos emparejar con el número par n + 1. Es decir, el número 5 lo emparejamos con el número 5 + 1, el número 149 con el número 150, etc. El emparejamiento lo muestra la siguiente animación:

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Para cada número impar rojo tenemos un número par azul único que le corresponde, y para cada número par azul tenemos un número impar rojo único que le corresponde. Hemos conseguido emparejar todos los números impares con todos los pares. ¡Lo cual significa que hay la misma cantidad de números pares que impares!

Bueno, eso no era muy sorprendente, ¿verdad? Probemos con otros conjuntos de números: todos los números naturales frente a los números pares. Aquí el resultado será ya más chocante.

¿Hay más números naturales o pares?

¿De qué números hay más? ¿Naturales o pares?

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Se ve claramente que los números naturales contienen a la vez todos los números pares. Y, además, los naturales contienen algunos números de más: los impares. Está claro, pues, que de naturales tiene que haber más: ¡contienen el doble de números!

¡Ojalá la vida fuera tan sencilla!

A nosotros no nos interesa si un conjunto de números contiene algunos números de más. Nos interesa si podemos emparejar de algún modo los números de dos conjuntos distintos. ¿Somos capaces de emparejar cada número par con cada número natural? ¿A pesar de que hay más naturales? Pues sí, podemos.

Cada número natural p lo podemos emparejar sencillamente con el número par 2 · p y, a la inversa, cada número par n lo podemos emparejar con el número natural n / 2. Así, el número natural 5 lo emparejamos con el número par 10, el número par 14 con el número natural 7, etc. El emparejamiento de los primeros números lo muestra la siguiente animación:

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¡De pronto tenemos para cada número natural un número par único, y para cada número par un número natural único! Qué más da que de naturales haya más. De ambos hay infinitos y nunca se nos acabarán. Desde nuestro punto de vista, ¡el conjunto de los números pares es tan grande como el conjunto de los números naturales! 😱

Es un poco contraintuitivo, pero es así.

¿Hay más números naturales o racionales?

Los números racionales son fracciones. Todos los números que se pueden escribir de la forma p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0, son números racionales. Por ejemplo, ½, ¾ u 8 son números racionales, pero π ya no lo es. De racionales hay muchos más que de naturales. Por ejemplo, entre los números 2 y 4 existe un único número entero, el 3, pero infinitos números racionales. Es más, hay infinitos números racionales incluso entre 0,001 y 0,002. ¡Tantos racionales hay!

Uno esperaría, por tanto, que el conjunto de los números racionales tenga que ser mayor que el de los naturales. Pero a la vez todos intuimos de algún modo que aquí habrá truco. Bueno, probemos a emparejar los números racionales con los naturales. Empezamos escribiendo los números racionales en una tabla como esta:

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El patrón debería estar claro: todas las fracciones de la primera fila tienen un 1 en el numerador (encima de la raya de fracción) y en el denominador los números crecientes 1, 2, 3, etc. En la columna es justo al revés. Si siguiéramos hasta el infinito, tendríamos en esta tabla todas las fracciones que existen. Por ejemplo, la fracción 1478/517 se encuentra en la fila 1478 y en la columna 517. Intentemos ahora construir nuestra función de emparejamiento. Podríamos hacerlo así:

  • Al número natural 1 lo emparejamos con la primera fracción de la primera fila, es decir, con 1/1
  • Al número natural 2 lo emparejamos con la segunda fracción de la primera fila, es decir, con 1/2
  • Al número natural 3 lo emparejamos con la tercera fracción de la primera fila, es decir, con 1/3
  • Al número natural 4 lo emparejamos con la cuarta fracción de la primera fila, es decir, con 1/4
  • …

¿Hemos conseguido emparejar así todos los números naturales? Pues sí. Cada número natural tiene su pareja. Al número natural 174 le corresponde la fracción 1/174. Pero ¿ocurre también al revés? ¿Tiene cada fracción su pareja entre los números naturales? ¿Qué pareja tiene la fracción 2/3? Ninguna, porque con nuestra función de emparejamiento nunca llegamos a la segunda fila. Solo hemos conseguido emparejar la primera fila de fracciones.

¿Significa esto que hay más números racionales que naturales? Por desgracia no: que una estrategia de emparejamiento no funcione no significa que no vaya a funcionar otra. Probemos esta vez por diagonales:

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  • Al número natural 1 lo emparejamos con la fracción 1/1 (primera diagonal),
  • al número natural 2 lo emparejamos con la fracción 1/2 (segunda diagonal),
  • al número natural 3 lo emparejamos con la fracción 2/1 (segunda diagonal),
  • al número natural 4 lo emparejamos con la fracción 1/3 (tercera diagonal),
  • al número natural 5 lo emparejamos con la fracción 2/2 (tercera diagonal),
  • al número natural 6 lo emparejamos con la fracción 3/1 (tercera diagonal),
  • etc.

Puedes ver las estrategias de emparejamiento en la animación:

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6⁄6
 

De este modo podemos cubrir todas las fracciones. Ninguna diagonal es infinita, así que en ninguna diagonal nos quedaremos atrapados «para siempre». Al final cada fracción tendrá asignado algún número natural y, por supuesto, cada número natural tendrá asignada alguna fracción única.

Bueno… En realidad, no del todo. Si volvemos a mirar nuestra tabla de fracciones, vemos que muchos números se repiten. Por ejemplo, las fracciones 1/1, 2/2, 3/3, etc. representan el mismo número: el 1. Igualmente, las fracciones 1/2, 2/4 y 3/6 representan un medio. En realidad, pues, los números naturales 1, 5, 13, etc. los estamos asignando al mismo número racional 1. Tenemos varios novios que se casan con la misma novia. ¡Eso no puede ser!

Por suerte, se arregla fácilmente. Basta tachar de nuestra tabla todas las fracciones que no son irreducibles, es decir, todas las fracciones que se pueden simplificar. Después de tacharlas, en la tabla nos quedarán solo números racionales únicos y nuestro truco de las diagonales funcionará. Cada número natural quedará emparejado con un número racional único y viceversa.

¡Lo cual significa que el conjunto de los números naturales es tan grande como el conjunto de los números racionales!

Por ahora parece que todos los conjuntos infinitos son igual de grandes. ¿Existe algún conjunto infinito que sea mayor que el conjunto de los números naturales?

¿Hay más números naturales o reales?

Entra en juego nuestra última salvación: los números reales. Otros números en la recta real ya no nos quedan. ¿Cómo son los números reales? Los números reales contienen todos los números racionales y, además, todos los irracionales. Si escribimos un número en forma decimal, entonces un número racional:

  • o bien tiene una expresión decimal finita, p. ej., 0,4841554,
  • o bien tiene una expresión infinita periódica: 0,1313131313…

Los números irracionales, en cambio, siempre tienen una expresión decimal infinita y, además, no periódica. Un número irracional es, por ejemplo, el número π, que es igual a 3,141592653… (sin periodo). Adelantemos ya que de números reales hay muchos más que de racionales y, por tanto, que de naturales. El conjunto de los números reales es mayor que el conjunto de los números naturales. ¿Y cómo lo demostramos?

Imagina que hemos encontrado una estrategia de emparejamiento para emparejar todos los números naturales con todos los reales. Digamos que es esta:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
…

Supongamos que a la izquierda tenemos todos los números naturales y a la derecha todos los reales. Si fuera verdad, no podríamos encontrar ningún número real que faltara en el lado derecho. Como ya hemos adelantado que el conjunto de los números reales es mayor, eso significa que en el lado derecho nos falta algún número. Vale, pero ¿cuál? Por ejemplo, vemos que falta el número 0,4818063607183678. Pero ¿y si se esconde justo bajo el número 8?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
…

¿Y el número 0,4208424736008147? Tampoco lo vemos. Pero ¿y si se esconde justo bajo el número nueve?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

Así no vamos a ninguna parte. Como, por supuesto, no podemos escribir todas las parejas, porque hay infinitas, no podemos limitarnos a adivinar si por casualidad este número está o no está. Necesitaríamos encontrar un número que sea distinto de todos los números de la derecha de la tabla, aunque no sepamos cuáles son todos los números de la derecha. ¿Cómo lo conseguimos?

Para que dos números sean distintos, basta con que se diferencien en una cifra. Por ejemplo, los números 0,123456 y 0,123457 no son iguales, aunque se diferencian solo en una cifra. Eso nos basta. Así, en nuestra tabla podemos resaltar siempre, en el n-ésimo número real, la n-ésima cifra después de la coma decimal:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

y componer el número nuevo de modo que en la n-ésima cifra después de la coma decimal se diferencie de la n-ésima cifra del n-ésimo número real. El número nuevo lo construimos, pues, empezando por un cero: 0,??? y la primera cifra después de la coma la elegimos de modo que se diferencie de la primera cifra del primer número real, es decir, que sea distinta de 3. Escribimos, por ejemplo, 0,1???. La segunda cifra debe ser distinta de la segunda cifra del segundo número real, es decir, distinta de 9. Escribimos, por ejemplo, un 2: 0,12???. Etc. Las primeras nueve cifras podrían quedar así: 0,123123127 (véase la última fila de la tabla):

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
? → 0,123123127

Vemos que este número es distinto de todos los números, porque de todos ellos se diferencia siempre en al menos una cifra. Aunque nuestra tabla contiene una cantidad infinita de números, nuestro número nuevo está formado por infinitas cifras de modo que se diferencia de todos los números de la tabla en al menos una cifra. Y fíjate en que podemos construir infinitos números que no están en la tabla. ¿Qué se deduce de ello? No somos capaces de emparejar los números naturales con los reales. Siempre nos quedarán infinitos números reales que no estarán emparejados con ningún número natural. De números reales hay muchos más que de naturales.

Notas finales

  • En aras de la sencillez, en todo el artículo hemos ignorado los números negativos. Pero, por supuesto, no cambian nada, y como tarea para casa puedes adaptar las estrategias de emparejamiento mencionadas aquí para que funcionen también con los números negativos.
  • El tamaño del conjunto de los números naturales tiene incluso nombre propio. Lo llamamos alef cero.
  • En matemáticas se usa a menudo el concepto de cardinal o cardinalidad de un conjunto en lugar de «tamaño del conjunto».