Dilución y mezcla de disoluciones

Una disolución se forma cuando, por ejemplo, disolvemos etanol en agua. Obtenemos una mezcla homogénea que se compone, así, de una sustancia disuelta (el etanol, el soluto) y de un disolvente (el agua). Normalmente, por disolución entendemos una disolución en estado líquido, pero en general también podemos tener una disolución de dos sustancias sólidas, por ejemplo una aleación como el bronce.

Concentración de una disolución

La concentración nos dice qué cantidad de soluto hay en la disolución. Tenemos varias maneras de indicar la concentración:

• En masa: cuántos gramos de soluto hay en 100 g de disolución.
• En volumen: cuántos mililitros de soluto hay en 100 ml de disolución.
• Porcentual: qué porcentaje de soluto hay en la disolución; por ejemplo, podemos tener una disolución al 40 %, lo que significa que hay 40 ml de sustancia por cada 100 ml de disolución.

¿Qué concentración tendría una disolución de agua y etanol si tuviéramos 500 ml de esta disolución, de los cuales 150 ml fueran etanol? Para obtener la concentración en volumen necesitamos saber cuántos ml hay en 100 ml. Pero nosotros sabemos cuántos ml hay en medio litro. Podemos ayudarnos con una regla de tres. Primero calculamos cuánto etanol habría en 1 ml de disolución, lo cual hacemos dividiendo la cantidad de etanol entre 500:

$$\frac{150\text{ml}}{500}=0,3\text{ml}$$

Cuando sabemos la cantidad de etanol en 1 ml, averiguamos la cantidad en 100 ml multiplicando esta cantidad por 100:

$$0,3\text{ml}\cdot 100=30\text{ml}$$

La disolución tiene, pues, una concentración de 30 ml de etanol por cada 100 ml. Se trata, por tanto, de una disolución al 30 %.

Ecuación de mezclas

Con la ecuación de mezclas podemos calcular la concentración de la disolución que obtenemos al mezclar dos disoluciones distintas. Imaginemos que tenemos dos disoluciones:

1. una disolución de 500 ml que contiene un 30 % de etanol,
2. una disolución de 400 ml que contiene un 20 % de etanol.

¿Qué concentración obtendremos si mezclamos estas disoluciones? Llamemos V₁ = 500 al volumen de la primera disolución, V₂ = 400 al volumen de la segunda y V = V₁ + V₂ al volumen de la disolución resultante.

Necesitaremos además la llamada fracción en volumen, que es solo la expresión porcentual de la concentración pasada a forma de fracción. La primera disolución, de concentración 30 %, tiene así la fracción en volumen $c_1=\frac{30}{100}$ y la segunda, de concentración 20 %, tiene la fracción en volumen $c_2=\frac{20}{100}$. (Si trabajáramos con gramos en lugar de litros, tendríamos fracciones en masa; el principio sería el mismo.) Sea c la fracción en volumen de la disolución resultante. Ahora podemos escribir la ecuación de mezclas:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot V$$

En esta ecuación la única incógnita es la concentración resultante c. Todos los valores a la izquierda del signo igual los conocemos por el enunciado y el volumen resultante V también lo conocemos, es solo la suma de los volúmenes V₁ y V₂:

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Sustituimos los valores concretos de todas las variables:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{20}{100}\cdot 400=c\cdot (500+400)$$

En el primer miembro calculamos ahora los productos de fracciones y en el segundo solo sumamos los volúmenes:

$$150+80=c\cdot 900$$

Ahora dividimos toda la ecuación entre 900, con lo que en el segundo miembro nos queda solo la concentración final c:

$$\frac{150+80}{900}=c$$

Sumamos el numerador e intercambiamos los miembros de la ecuación de mezclas (normalmente queremos tener la incógnita a la izquierda):

$$c=\frac{230}{900}$$

Esta es nuestra fracción en volumen resultante. Si queremos obtener la expresión como razón, calculamos 230 dividido entre 900:

$$\frac{230}{900}=\mathrm{0,255}555\dots$$

La expresión en porcentaje la obtenemos multiplicando esta razón por 100, con lo que obtenemos aproximadamente un 25,6 %. La disolución resultante tendrá una concentración de aproximadamente el 25,6 %, es decir, tiene unos 25,6 ml de etanol por cada 100 ml.

¿Con qué diluir para obtener la disolución deseada?

Pero también podemos necesitar averiguar algo un poco distinto. Tengamos otra vez una disolución de 500 ml que contiene un 30 % de etanol y una segunda disolución que contiene un 55 % de etanol. ¿Cuántos ml de la segunda disolución tenemos que mezclar con la primera para obtener una disolución al 40 %? Usamos otra vez la ecuación de mezclas

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

La única incógnita es V₂, todo lo demás lo conocemos. A diferencia del caso anterior, conocemos $c=\frac{40}{100}$, porque sabemos qué disolución queremos obtener. Sustituimos los valores conocidos en la ecuación de mezclas:

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{55}{100}\cdot V_2=\frac{40}{100}(500+V_2)$$

Multiplicamos toda la ecuación por 100:

$$30\cdot 500+55\cdot V_2=40\cdot (500+V_2)$$

Calculamos el producto del primer miembro y aplicamos la propiedad distributiva en el paréntesis del segundo:

$$15000+55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2$$

Restamos 15.000 en ambos miembros de la ecuación:

$$55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2-15000$$

Restamos 40 · V₂ en ambos miembros de la ecuación:

$$55\cdot V_2-40\cdot V_2=40\cdot 500-15000$$

Sumamos/restamos lo que podemos:

$$15\cdot V_2=20000-15000$$

Hacemos la resta del segundo miembro:

$$15\cdot V_2=5000$$

Dividimos ambos miembros de la ecuación entre 15:

$$V_2=\frac{5000}{15}=\mathrm{333,333}\dots$$

Tenemos, pues, que añadir unos 333 ml (un tercio de litro) de la segunda disolución al 55 % para obtener una disolución de concentración 40 %. Podemos comprobar si hemos calculado bien. La primera disolución de 500 ml contenía un 30 % de etanol, lo que significa que contenía 150 ml de etanol. Si añadimos 333 ml de la segunda disolución al 55 %, esta contiene 183 ml de etanol. En total hemos obtenido una disolución de volumen 500 ml + 333 ml, que son 833 ml, que contiene 150 ml + 183 ml, que son 333 ml de etanol. Si calculamos el cociente

$$\frac{333}{833}\approx 0,4$$

Hemos obtenido (tras el redondeo) una disolución al 40 % de etanol y agua.