Vectores

Un vector representa una magnitud que, además de módulo, tiene dirección y sentido. En eso se diferencia de un número corriente, es decir, de un escalar, que solo tiene módulo.

Segmento orientado

Tenemos en el plano dos puntos distintos A, B. Entre estos puntos podemos trazar un segmento. Normalmente lo escribimos como AB, y en ese caso no importa el orden de los puntos: el segmento AB es exactamente el mismo que el segmento BA.

Esto no siempre nos conviene y por eso introducimos el concepto de segmento orientado, en el que distinguimos el origen y el extremo. El segmento orientado AB tiene el origen en A y el extremo en B. En las figuras representamos el segmento orientado con una flecha; en el texto lo escribimos con una flecha sobre los puntos: $\overrightarrow{AB}$. Ejemplo:

En azul se muestra el segmento AB y en rojo el segmento orientado $\overrightarrow{CD}$. Si tenemos un segmento orientado $\overrightarrow{AB}$ para el que se cumple A = B, lo llamamos segmento orientado nulo. Este segmento tiene el mismo origen y extremo; ni siquiera diríamos que es un segmento, cuando en realidad es solo un punto.

El módulo de un segmento orientado es igual a la longitud de un segmento ordinario. Se cumple $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Dirección de un segmento orientado

Fíjate en los dos segmentos orientados siguientes, $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{CD}$:

A primera vista se ve que los segmentos orientados tienen la misma dirección y el mismo sentido. Aunque podríamos definir con rigor el concepto de «dirección», preferimos quedarnos con la idea intuitiva. Dicho de forma sencilla, dos segmentos orientados tienen la misma dirección y el mismo sentido si son paralelos y uno no apunta hacia el lado contrario que el otro. Todas estas son parejas de segmentos orientados con la misma dirección y el mismo sentido:

Los últimos segmentos, los verdes, son los segmentos orientados $\overrightarrow{IJ}$ e $\overrightarrow{IK}$. A continuación, un ejemplo de parejas de segmentos que no tienen la misma dirección y el mismo sentido:

Qué es un vector

Volvamos a la figura de los dos segmentos orientados con la misma dirección y el mismo sentido:

Vemos que estos segmentos orientados no solo tienen la misma dirección y el mismo sentido, sino también el mismo módulo. La única diferencia entre ellos es que están colocados en otro sitio. Los segmentos orientados que tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo representan un único vector.

Así, un vector se puede dibujar en el plano (en el espacio…) de infinitas maneras: basta tomar cualquier segmento orientado que tenga la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo que el vector dado. Los siguientes segmentos orientados representan todos un único vector:

Un vector queda determinado solo por su módulo, su dirección y su sentido. El módulo, la dirección y el sentido de un vector son los mismos que los del segmento orientado que lo representa. Los vectores se suelen escribir en negrita y con una flecha, igual que el segmento orientado. Así podemos tener el vector $\overrightarrow{\mathbf{AB}}$ o, más brevemente, el vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Un segmento orientado concreto es un representante del vector. En la figura anterior tenemos en total 7 segmentos orientados, y cada uno determina un representante distinto del vector. Los segmentos orientados $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{MN}$ representan el mismo vector, digamos $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, pero son dos representantes distintos del vector $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Vectores proporcionales

Tenemos dos vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Decimos que estos vectores son proporcionales si son paralelos. Los vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ no tienen por qué tener el mismo módulo. La dirección debe ser la misma; el sentido puede ser el mismo o el contrario. Ejemplos de vectores proporcionales:

Todos los vectores rojos son proporcionales: son paralelos. El sentido ya no importa; da igual que apunten a la esquina superior derecha o a la inferior izquierda. El vector azul $\overrightarrow{GH}$ no es proporcional.

Ahora bien, si los vectores proporcionales tienen el mismo sentido, decimos que son del mismo sentido; si no tienen el mismo sentido, son de sentido contrario. Volvamos a la figura anterior: los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{EF}$ son del mismo sentido, y los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{KL}$ son de sentido contrario.

Coordenadas de los vectores

Ya sabemos que un vector se puede expresar mediante infinitos segmentos orientados. Uno de estos segmentos tiene su origen en el origen del sistema de coordenadas, en el punto (0, 0) si hablamos del plano y en el punto (0, 0, 0) si hablamos del espacio. Fíjate en la siguiente figura:

Los segmentos orientados $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{CD}$ tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo, así que son un solo vector. Además, el segmento $\overrightarrow{CD}$ parte del origen del sistema de coordenadas, las coordenadas del punto C son (0, 0). Lo mismo vale para la pareja de segmentos $\overrightarrow{EF}$ y $\overrightarrow{KL}$.

Si sabemos que los segmentos $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ parten del origen, podemos adoptar el convenio de designar estos vectores solo por su extremo. El origen es el mismo (el origen del sistema de coordenadas), así que para distinguir los segmentos $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ nos basta con anotar sus extremos.

Decimos que el vector $\overrightarrow{AB}$, y por tanto también el vector $\overrightarrow{CD}$, tiene coordenadas (3, 1), que son las coordenadas del punto D, el extremo del segmento $\overrightarrow{CD}$. El vector $\overrightarrow{KL}$ tiene entonces coordenadas (−1, 4), las coordenadas del punto F.

Cómo calcular las coordenadas de un vector

Veamos ahora la forma matemática de determinar las coordenadas de un vector. Partimos de que conocemos las coordenadas de los puntos A, B que determinan el vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Tenemos, pues, un vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ determinado por los puntos A(2, 3) y B(5, 4). Es el vector rojo de más arriba en la figura anterior. ¿Cómo hallamos las coordenadas del punto D, es decir, del extremo del segmento orientado que representa el vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ y empieza en el origen?

Simplemente desplazamos todo el segmento $\overrightarrow{AB}$ hasta el origen del sistema de coordenadas. Para llevar el punto A al origen, tenemos que moverlo 2 cuadraditos hacia la izquierda y 3 cuadraditos hacia abajo. Lo mismo con el punto B. Dicho de otro modo: a los dos puntos A y B les restamos las coordenadas del punto A. Así desplazamos el segmento $\overrightarrow{AB}$ a donde está dibujado el segmento $\overrightarrow{CD}$. Podemos escribir:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2,3)-(2,3)& =& (0,0)\\ B-A=(5,4)-(2,3)& =& (3,1)\end{array}$$

Las coordenadas del vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ son entonces (3, 1), el extremo del segmento orientado que tiene su origen en el origen de coordenadas.

Podemos escribir que, si tenemos un vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ determinado por los puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂), las coordenadas del vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ se obtienen así:

$$B-A=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$

Las coordenadas del vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ se escriben entre paréntesis, de modo que las coordenadas del vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ anterior se escribirían así: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(3,1)$.

Podemos volver a la figura y calcular las coordenadas del vector $\overrightarrow{KL}$. Las coordenadas de los puntos K y L son K(−2, 1), L(−3, 5). Las coordenadas del vector serán

$$L-K=(-3,5)-(-2,1)=(-1,4)$$

Vemos que hemos obtenido correctamente las coordenadas del punto F.

Cómo calcular el módulo de un vector

Cuando ya conocemos las coordenadas de los vectores, podemos calcular fácilmente su módulo. Con el teorema de Pitágoras deducimos sin dificultad que el módulo de un vector de coordenadas $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ en el plano es

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

En la siguiente figura vemos que las coordenadas del vector coinciden con las longitudes de los lados del triángulo que hemos formado y que, al aplicar el teorema de Pitágoras, calculamos fácilmente el módulo del vector.

Si tenemos el vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,4)$, su módulo será

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Y ahora siguen dos ejemplos para practicar la materia tratada.

1. Determina las coordenadas del vector u dado por los puntos A(3, 7), B(−1, 0). Aquí el procedimiento es completamente sencillo y directo. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   El vector tiene, pues, coordenadas $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-4,-7)$

2. Sabemos que el vector $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tiene coordenadas $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,3)$ y está formado por los puntos A(6, 6) y B(x₁, y₁), es decir, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$. Halla las coordenadas del punto B.

   Planteamos de nuevo la ecuación que ya conocemos y despejamos de ella la incógnita:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   La segunda coordenada la hallamos con un procedimiento idéntico:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   El punto B tiene coordenadas (8, 9).