Números naturales
Los números naturales son los números que más usamos en la vida cotidiana. Se trata de los números enteros positivos, es decir, los números 1, 2, 3, 4, …
Notación
Los números naturales forman un conjunto que contiene los números enteros positivos 1, 2, 3, 4, … Este conjunto se suele denotar con la letra N con el primer trazo doble, así: ℕ. Es la inicial de «naturales».
A veces suponemos que el conjunto de los números naturales contiene también el cero. Cuando necesitamos distinguirlo, usamos el ℕ habitual para el conjunto sin el cero y, si queremos incluirlo, escribimos ℕ ∪ {0}. Muchas veces se usa además la notación con el signo más, ℕ+, para subrayar que trabajamos con los números naturales sin el cero.
Los números naturales los usamos sobre todo para indicar la cantidad de algo («en casa tenemos tres sillas», «en el parque hay treinta bancos», …) y para indicar el orden («el primer hombre en la Luna», «Canadá es el segundo país más grande del mundo», …).
Propiedades
Los números naturales tienen algunas propiedades interesantes:
- El conjunto de los números naturales es infinito, pero es numerable: podemos ordenarlos todos en una sucesión.
- Los números naturales son cerrados respecto de la operación de suma y de multiplicación. Esto significa que si multiplicamos o sumamos dos números naturales cualesquiera, obtenemos de nuevo un número natural.
- No son cerrados respecto de la resta, porque si restamos un número mayor de uno menor, obtenemos un número negativo.
- Del mismo modo, tampoco son cerrados respecto de la división; por ejemplo, 7/2 no es un número natural.
División entera
En el apartado anterior hemos visto que los números naturales no son cerrados respecto de la división. Sin embargo, podemos definir la operación de división entera, que seguro que ya conoces. Si dividimos 7/2, obtenemos 3,5. Si usamos la división entera, obtenemos como cociente 3 y como resto 1. Es decir, si multiplicamos 3 · 2 y sumamos el resto, recuperamos el 7: 3 · 2 + 1 = 7.
Los números naturales no son cerrados respecto de esta operación, pero los números naturales junto con el cero sí lo son. Es decir, tanto el cociente como el resto pertenecerán al conjunto ℕ ∪ {0}.
La definición de la división entera es la siguiente:
En la definición hemos dividido a:b; el número r se llama resto de la división y q es el cociente. ¿Qué significan las condiciones? Suponemos que nos movemos en los números naturales incluido el cero, pero como no se puede dividir entre cero, elegimos b del conjunto sin el cero.
Así, por ejemplo, para calcular 19:5 se cumpliría: a = 19 y b = 5. La descomposición quedaría así:
Es decir, q = 3 es el cociente y r = 4 es el resto.
