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Y a-t-il plus de nombres pairs ou impairs ?

À ton avis, y a-t-il plus de nombres pairs ou impairs ? Ou y en a-t-il autant des uns que des autres ? Comment pourrait-on en juger ? Et qu’en est-il des autres nombres ? Y a-t-il plus de nombres pairs ou d’entiers naturels ? Plus d’entiers naturels ou de nombres rationnels ? Ce n’est pas tout à fait simple, car tous ces nombres sont en quantité infinie. Pourtant, nous sommes capables de les comparer et de dire où il y en a le plus et où il y en a le moins.

Montrons-le sur un petit ensemble de nombres. Imaginons deux ensembles de nombres : les nombres bleus et les nombres rouges :

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Peut-on dire de quels nombres il y a le plus ? Des rouges ou des bleus ? On voit clairement que… Quoi ? Tu ne distingues pas bien les couleurs ? Bon, d’accord, à partir de maintenant nous afficherons en plus les nombres rouges sous forme de petits carrés :

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Bien, maintenant on voit clairement qu’il y a plus de nombres bleus que de rouges. C’était facile, parce que nous travaillons avec des ensembles finis de nombres, donc nous sommes capables de les compter. On voit qu’il y a six nombres bleus et seulement trois rouges. Les ensembles infinis seront moins simples, car nous ne pouvons pas les compter. Répondons donc à la question du titre : y a-t-il plus de nombres pairs ou impairs ? Pour simplifier, restons-en aux nombres strictement positifs. Imagine un sac rempli de tous les nombres impairs et un sac rempli de tous les nombres pairs. Quel sac est le plus grand ?

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Eh bien, imaginer une infinité de nombres n’est pas vraiment facile, et les compter est encore plus difficile. N’existe-t-il pas une autre façon de comparer la taille des ensembles ?

Comparer deux ensembles finis

Imagine que nous avons un sac plein de mariés et un sac plein de mariées. Si nous avons une mariée pour chaque marié et un marié pour chaque mariée, nous pouvons dire que nous avons autant de mariés que de mariées :

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Tu vois ? Chaque mariée de la première ligne a son propre marié dans la deuxième ligne, et inversement – chaque marié a sa propre mariée. Mais il pourrait aussi arriver autre chose : chaque mariée aurait son marié, mais pas chaque marié sa mariée :

👰 👰 👰 👰 👰 ❌

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Chaque mariée a un marié, mais un marié reste tristement célibataire. Quand il nous reste un marié en trop, nous pouvons dire qu’il y a plus de mariés que de mariées. De même, s’il reste une mariée en trop

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

nous pouvons dire qu’il y a plus de mariées que de mariés.

Comparer deux ensembles infinis

Peut-on utiliser cette méthode pour comparer deux ensembles infinis ? Peut-on associer chaque nombre impair à un nombre pair et chaque nombre pair à un nombre impair, sans jamais utiliser un même nombre plus d’une fois ? Oui ! On peut associer chaque nombre impair n au nombre pair n + 1. Ainsi, le nombre 5 est associé au nombre 5 + 1, le nombre 149 au nombre 150, etc. L’animation suivante illustre cette association :

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À chaque nombre impair rouge correspond un unique nombre pair bleu, et à chaque nombre pair bleu correspond un unique nombre impair rouge. Nous avons réussi à associer tous les nombres impairs à tous les nombres pairs. Ce qui signifie qu’il y a autant de nombres pairs que de nombres impairs !

Bon, ce n’était pas vraiment surprenant, n’est-ce pas ? Essayons de comparer d’autres ensembles de nombres : tous les entiers naturels contre les nombres pairs. Là, le résultat sera plus choquant.

Y a-t-il plus d’entiers naturels ou de nombres pairs ?

Quels nombres sont les plus nombreux ? Les entiers naturels ou les nombres pairs ?

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…

On voit bien que les entiers naturels contiennent tous les nombres pairs. Et en plus, ils contiennent des nombres supplémentaires – les nombres impairs. Il est donc évident qu’il y a plus d’entiers naturels – ils contiennent tout de même deux fois plus de nombres !

Ah, si seulement la vie était aussi simple !

Ce qui nous intéresse, ce n’est pas qu’un ensemble contienne des nombres en plus. Ce qui nous intéresse, c’est de savoir si l’on peut associer d’une façon ou d’une autre les nombres de deux ensembles différents. Sommes-nous capables d’associer chaque nombre pair à un entier naturel, alors qu’il y a plus d’entiers naturels ? Eh bien oui, on sait le faire.

On peut tout simplement associer chaque entier naturel p au nombre pair 2 · p, et inversement – associer chaque nombre pair n à l’entier naturel n / 2. Ainsi, l’entier naturel 5 est associé au nombre pair 10, et le nombre pair 14 à l’entier naturel 7, etc. L’animation suivante montre l’association pour les premiers nombres :

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Tout à coup, à chaque entier naturel correspond un nombre pair unique, et à chaque nombre pair un entier naturel unique ! Qu’importe qu’il y ait plus d’entiers naturels. Il y a une infinité des uns comme des autres et nous n’en manquerons jamais. De notre point de vue, l’ensemble des nombres pairs est donc aussi grand que l’ensemble des entiers naturels ! 😱

C’est un peu contre-intuitif, mais c’est comme ça.

Y a-t-il plus d’entiers naturels ou de nombres rationnels ?

Les nombres rationnels sont des fractions. Tous les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme p/q, où p et q sont des entiers relatifs et q ≠ 0, sont des nombres rationnels. Par exemple ½, ¾ ou 8 sont des nombres rationnels, mais π n’en est pas un. Il y a beaucoup plus de nombres rationnels que d’entiers naturels. Par exemple, entre 2 et 4, il n’existe qu’un seul nombre entier, le nombre 3, mais une infinité de nombres rationnels. Il y a même une infinité de nombres rationnels entre 0,001 et 0,002. Voilà à quel point il y en a !

On s’attendrait donc à ce que l’ensemble des nombres rationnels soit forcément plus grand que celui des entiers naturels. Mais nous sentons tous plus ou moins qu’il y a un hic. Bon, essayons d’associer les nombres rationnels aux entiers naturels. Commençons par écrire les nombres rationnels dans un tableau :

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Le motif devrait être clair : toutes les fractions de la première ligne ont 1 pour numérateur (au-dessus de la barre de fraction) et, pour dénominateur, successivement les nombres 1, 2, 3, etc. Dans une colonne, c’est l’inverse. Si l’on poursuivait à l’infini, ce tableau contiendrait toutes les fractions existantes. Par exemple, la fraction 1478/517 se trouve à la ligne 1478 et dans la colonne 517. Essayons maintenant de construire notre règle d’association. On pourrait la construire ainsi :

  • On associe l’entier naturel 1 à la première fraction de la première ligne, c.-à-d. à 1/1
  • On associe l’entier naturel 2 à la deuxième fraction de la première ligne, c.-à-d. à 1/2
  • On associe l’entier naturel 3 à la troisième fraction de la première ligne, c.-à-d. à 1/3
  • On associe l’entier naturel 4 à la quatrième fraction de la première ligne, c.-à-d. à 1/4
  • …

Avons-nous ainsi associé tous les entiers naturels ? Oui. Chaque entier naturel a son correspondant. L’entier naturel 174 a pour correspondant la fraction 1/174. Mais est-ce vrai aussi dans l’autre sens ? Chaque fraction a-t-elle son correspondant parmi les entiers naturels ? Quel correspondant a la fraction 2/3 ? Aucun, car avec notre règle d’association nous ne sommes jamais arrivés à la deuxième ligne. Nous n’avons associé que la première ligne de fractions.

Cela signifie-t-il qu’il y a plus de nombres rationnels que d’entiers naturels ? Hélas non – ce n’est pas parce qu’une stratégie d’association ne fonctionne pas qu’une autre ne fonctionnera pas. Essayons cette fois de parcourir le tableau en suivant les diagonales :

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  • On associe l’entier naturel 1 à la fraction 1/1 (première diagonale),
  • l’entier naturel 2 à la fraction 1/2 (deuxième diagonale),
  • l’entier naturel 3 à la fraction 2/1 (deuxième diagonale),
  • l’entier naturel 4 à la fraction 1/3 (troisième diagonale),
  • l’entier naturel 5 à la fraction 2/2 (troisième diagonale),
  • l’entier naturel 6 à la fraction 3/1 (troisième diagonale),
  • etc.

Tu peux voir ces stratégies d’association sur l’animation :

1⁄1
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6⁄3
 
6⁄4
 
6⁄5
 
6⁄6
 

Ainsi, nous pouvons couvrir toutes les fractions. Aucune diagonale n’est infinie, donc nous ne resterons jamais coincés dans une diagonale « pour toujours ». À la fin, chaque fraction se verra attribuer un entier naturel et, bien sûr, chaque entier naturel se verra attribuer une fraction unique.

Enfin… en fait, pas tout à fait. Si l’on regarde de nouveau notre tableau de fractions, on constate que beaucoup de nombres s’y répètent. Par exemple, les fractions 1/1, 2/2, 3/3, etc. représentent le même nombre – le nombre 1. De même, les fractions 1/2, 2/4 et 3/6 représentent un demi. En réalité, les entiers naturels 1, 5, 13, etc. sont donc associés au même nombre rationnel 1 ! Nous avons plusieurs mariés qui épousent la même mariée. Ça ne peut pas marcher !

Heureusement, on peut facilement y remédier. Il suffit de barrer dans notre tableau toutes les fractions qui ne sont pas irréductibles, c’est-à-dire toutes celles qu’on peut simplifier. Après cette suppression, il ne reste dans le tableau que des nombres rationnels uniques, et notre astuce des diagonales fonctionnera. Chaque entier naturel sera associé à un nombre rationnel unique, et inversement.

Ce qui signifie que l’ensemble des entiers naturels est aussi grand que l’ensemble des nombres rationnels !

Pour l’instant, il semble que tous les ensembles infinis aient la même taille. Existe-t-il un ensemble infini qui soit plus grand que l’ensemble des entiers naturels ?

Y a-t-il plus d’entiers naturels ou de nombres réels ?

Notre dernier espoir entre en jeu : les nombres réels. Nous n’avons plus d’autres nombres sur la droite réelle. À quoi ressemblent les nombres réels ? Les nombres réels contiennent tous les nombres rationnels et, en plus, tous les nombres irrationnels. Si l’on écrit un nombre en écriture décimale, alors un nombre rationnel a :

  • soit un développement décimal fini, par ex. 0,4841554,
  • soit un développement décimal infini périodique : 0,1313131313…

Les nombres irrationnels, au contraire, ont toujours un développement décimal infini et non périodique. Un nombre irrationnel est par exemple le nombre π, qui vaut 3,141592653… (aucune période). Disons-le d’emblée : il y a bien plus de nombres réels que de nombres rationnels, et donc que d’entiers naturels. L’ensemble des nombres réels est plus grand que l’ensemble des entiers naturels. Et comment le démontrer ?

Imagine que nous ayons trouvé une stratégie d’association de tous les entiers naturels avec tous les nombres réels. Supposons que ce soit celle-ci :

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
…

Supposons que nous ayons à gauche tous les entiers naturels et à droite tous les nombres réels. Si c’était vrai, nous ne pourrions trouver aucun nombre réel qui manque à droite. Comme nous avons déjà spoilé que l’ensemble des nombres réels est plus grand, il manque donc forcément un nombre à droite. Mais lequel ? On voit par exemple qu’il manque le nombre 0,4818063607183678. Mais s’il se cachait justement derrière le nombre 8 ?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
…

Et le nombre 0,4208424736008147 ? On ne le voit pas non plus. Mais s’il se cachait justement derrière le nombre 9 ?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

Ça ne marchera pas comme ça. Comme nous ne pouvons évidemment pas écrire toutes les paires, car il y en a une infinité, nous ne pouvons pas simplement deviner si tel nombre s’y trouve ou non. Il faudrait trouver un nombre qui diffère de tous les nombres de la colonne de droite du tableau, bien que nous ne sachions pas quels sont tous ces nombres. Comment y parvenir ?

Pour que deux nombres soient différents, il suffit qu’ils diffèrent par un seul chiffre. Par exemple, les nombres 0,123456 et 0,123457 ne sont pas égaux – et pourtant ils ne diffèrent que par un seul chiffre. Cela nous suffit. Nous pouvons donc, dans notre tableau, mettre en évidence pour le n-ième nombre réel son n-ième chiffre après la virgule :

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

et construire un nouveau nombre de sorte que son n-ième chiffre après la virgule diffère du n-ième chiffre du n-ième nombre réel. On construit donc le nouveau nombre en commençant par zéro : 0,??? et on choisit le premier chiffre après la virgule de sorte qu’il diffère du premier chiffre du premier nombre réel, c’est-à-dire qu’il diffère de 3. On écrit par exemple 0,1???. Le deuxième chiffre doit être différent du deuxième chiffre du deuxième nombre réel, c’est-à-dire différent de 9. On écrit par exemple un 2 : 0,12???. Etc. Les neuf premiers chiffres pourraient donc ressembler à ceci : 0,123123127 (voir la dernière ligne du tableau) :

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
? → 0,123123127

On voit que ce nombre est différent de tous les autres, car il diffère de chacun d’eux par au moins un chiffre. Bien que notre tableau contienne une infinité de nombres, notre nouveau nombre est formé d’une infinité de chiffres de façon à différer de tous les nombres du tableau par au moins un chiffre. Et remarque qu’on peut construire une infinité de nombres qui ne figurent pas dans le tableau ! Qu’en conclure ? Nous sommes incapables d’associer les entiers naturels aux nombres réels. Il nous restera toujours une infinité de nombres réels qui ne seront associés à aucun entier naturel. Il y a bien plus de nombres réels que d’entiers naturels.

Remarques pour finir

  • Pour simplifier, nous avons ignoré tout au long de l’article les nombres négatifs. Cela ne change évidemment rien à l’affaire, et en guise de devoir à la maison, tu peux adapter les stratégies d’association présentées ici pour qu’elles fonctionnent aussi avec les nombres négatifs.
  • La taille de l’ensemble des entiers naturels porte même un nom. On l’appelle aleph zéro.
  • En mathématiques, on utilise souvent la notion de cardinal d’un ensemble au lieu de « taille d’un ensemble ».