Dilution et mélange de solutions

Une solution se forme lorsque, par exemple, on dissout de l’éthanol dans de l’eau. On obtient un mélange homogène, composé d’un soluté (l’éthanol) et d’un solvant (l’eau). En général, par solution on entend une solution à l’état liquide, mais on peut aussi avoir une solution de deux solides, par exemple un alliage comme le bronze.

Concentration d’une solution

La concentration nous dit quelle quantité de soluté se trouve dans la solution. Il y a plusieurs façons d’indiquer une concentration :

• Massique : combien de grammes de soluté se trouvent dans 100 g de solution.
• Volumique : combien de millilitres de soluté se trouvent dans 100 mL de solution.
• En pourcentage : quel pourcentage de soluté se trouve dans la solution ; on peut avoir par exemple une solution à 40 %, ce qui signifie qu’il y a 40 mL de substance pour 100 mL de solution.

Quelle serait la concentration d’une solution d’eau et d’éthanol si l’on avait 500 mL de cette solution, dont 150 mL d’éthanol ? Pour obtenir la concentration volumique, il faut savoir combien de mL sont contenus dans 100 mL. Or nous savons combien de mL sont contenus dans un demi-litre. On peut s’aider d’une règle de trois. Calculons d’abord combien d’éthanol il y aurait dans 1 mL de solution, ce qu’on fait en divisant la quantité d’éthanol par 500 :

$$\frac{150\text{mL}}{500}=0,3\text{mL}$$

Quand on connaît la quantité d’éthanol dans 1 mL, on trouve la quantité dans 100 mL en multipliant cette quantité par 100 :

$$0,3\text{mL}\cdot 100=30\text{mL}$$

La solution a donc une concentration de 30 mL d’éthanol pour 100 mL. Il s’agit donc d’une solution à 30 %.

Équation de mélange

À l’aide de l’équation de mélange, on peut calculer la concentration de la solution obtenue en mélangeant deux solutions différentes. Imaginons qu’on ait deux solutions :

1. une solution de 500 mL contenant 30 % d’éthanol,
2. une solution de 400 mL contenant 20 % d’éthanol.

Quelle sera la concentration de la solution obtenue si on mélange ces solutions ? Notons V₁ = 500 le volume de la première solution, V₂ = 400 le volume de la deuxième solution et V = V₁ + V₂ le volume de la solution obtenue.

Il nous faut aussi ce qu’on appelle la fraction volumique, qui n’est que l’expression en pourcentage de la concentration, convertie sous forme de fraction. La première solution, de concentration 30 %, a donc la fraction volumique $c_1=\frac{30}{100}$ et la deuxième solution, de concentration 20 %, a la fraction volumique $c_2=\frac{20}{100}$. (Si l’on travaillait avec des grammes au lieu de millilitres, on aurait des fractions massiques, mais le principe serait le même.) Notons c la fraction volumique de la solution obtenue. On peut maintenant écrire l’équation de mélange :

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot V$$

Dans cette équation, la seule inconnue est la concentration finale c. Toutes les valeurs à gauche du signe égal sont données par l’énoncé, et le volume final V est connu lui aussi : c’est simplement la somme des volumes V₁ et V₂ :

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

Remplaçons toutes les variables par leurs valeurs :

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{20}{100}\cdot 400=c\cdot (500+400)$$

Dans le membre de gauche, on calcule maintenant les produits de fractions et, dans le membre de droite, on additionne simplement les volumes :

$$150+80=c\cdot 900$$

On divise maintenant toute l’équation par 900, ce qui ne laisse dans le membre de droite que la concentration finale c :

$$\frac{150+80}{900}=c$$

On calcule le numérateur et on échange simplement le membre de gauche et le membre de droite de l’équation de mélange (en général, on veut avoir l’inconnue à gauche) :

$$c=\frac{230}{900}$$

C’est notre fraction volumique finale. Pour obtenir l’expression sous forme de rapport, on calcule 230 divisé par 900 :

$$\frac{230}{900}=\mathrm{0,255}555\dots$$

On obtient l’expression en pourcentage en multipliant ce rapport par 100, ce qui donne environ 25,6 %. La solution obtenue aura donc une concentration d’environ 25,6 %, c’est-à-dire qu’elle contient à peu près 25,6 mL d’éthanol pour 100 mL.

Avec quoi diluer pour obtenir la solution voulue ?

On peut aussi avoir besoin de répondre à une question un peu différente. Prenons de nouveau une solution de 500 mL contenant 30 % d’éthanol et une deuxième solution contenant 55 % d’éthanol. Combien de mL de la deuxième solution faut-il mélanger à la première pour obtenir une solution à 40 % ? On utilise de nouveau l’équation de mélange

$$c_1\cdot V_1+c_2\cdot V_2=c\cdot (V_1+V_2)$$

La seule inconnue est ici V₂, tout le reste est connu. Contrairement au cas précédent, on connaît en effet $c=\frac{40}{100}$, puisqu’on sait quelle solution on veut obtenir. On remplace les valeurs connues dans l’équation de mélange :

$$\frac{30}{100}\cdot 500+\frac{55}{100}\cdot V_2=\frac{40}{100}(500+V_2)$$

On multiplie toute l’équation par 100 :

$$30\cdot 500+55\cdot V_2=40\cdot (500+V_2)$$

On calcule le produit dans le membre de gauche et on développe la parenthèse dans le membre de droite :

$$15000+55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2$$

On retire 15 000 des deux membres de l’équation :

$$55\cdot V_2=40\cdot 500+40\cdot V_2-15000$$

On retire 40 · V₂ des deux membres de l’équation :

$$55\cdot V_2-40\cdot V_2=40\cdot 500-15000$$

On additionne et on soustrait ce qu’on peut :

$$15\cdot V_2=20000-15000$$

On soustrait dans le membre de droite :

$$15\cdot V_2=5000$$

On divise les deux membres de l’équation par 15 :

$$V_2=\frac{5000}{15}=\mathrm{333,333}\dots$$

Il faut donc ajouter environ 333 mL (un tiers de litre) de la deuxième solution à 55 % pour obtenir une solution de concentration 40 %. On peut vérifier si l’on a bien calculé. La première solution de 500 mL contenait 30 % d’éthanol, c’est-à-dire 150 mL d’éthanol. Si l’on ajoute 333 mL de la deuxième solution à 55 %, celle-ci contient 183 mL d’éthanol. Au final, on a donc obtenu une solution d’un volume de 500 mL + 333 mL, soit 833 mL, qui contient 150 mL + 183 mL, soit 333 mL d’éthanol. Si l’on calcule le quotient

$$\frac{333}{833}\approx 0,4$$

on a obtenu (après arrondi) une solution à 40 % d’éthanol et d’eau.