Relations

Une relation est l’équivalent mathématique de la notion ordinaire de « lien ». Dans la vie de tous les jours, Léa est par exemple liée à Chloé, plus précisément par le lien « mère – fille ». Un autre lien de ce genre est « pays – capitale de ce pays ». Prenons comme exemple l’Égypte – Le Caire.

Autres exemples de relations

Prenons d’autres exemples. En introduction, nous avons mentionné les relations (liens) « être la mère de sa fille » et « être la capitale d’un pays ». Voyons-en d’autres : « être un nombre pair ». Dans cette relation se trouvent les nombres 2 ; 4 ; 8 ; 18 ; 58 ; 66 et beaucoup d’autres. Les nombres 1 ; 3 ; −7 ; 19 ne sont pas dans la relation « être un nombre pair ». Une relation du monde courant peut être « être un homme ». Adam, Hugo, Lucas ou Louis sont dans la relation « être un homme ».

Un autre exemple est la relation « strictement inférieur à ». Par exemple, le nombre trois est « strictement inférieur » au nombre cinq. Mathématiquement, on peut l’écrire 3<5. Ou la relation d’égalité : le nombre trois « est égal » au nombre trois, mathématiquement : 3 = 3.

Nous pouvons aussi avoir des exemples plus compliqués : « le père et la mère sont les parents de l’enfant ». Dans cette relation, il y aura un triplet de personnes : le père Daniel, la mère Marie et l’enfant Camille. En mathématiques, on pourrait imaginer une relation à trois éléments ainsi : la somme des deux premiers nombres est égale au troisième. Par exemple, ces nombres, dans cet ordre, sont dans cette relation : 3 ; 4 ; 7, car 3 + 4 = 7. Ces nombres ne sont pas dans la relation : 3 ; 5 ; 12, car 3 + 5 ≠ 12.

Arité d’une relation

L’arité est un terme au nom étrange, qui exprime simplement combien d’éléments on a dans la relation. Dans les exemples précédents, nous avons travaillé avec un nombre variable d’éléments. Pour la relation « être un homme », un seul élément nous a suffi, on peut donc dire : « Hugo est un homme ». Un seul nom nous suffit, un seul élément. On dit d’une telle relation qu’elle est unaire.

Dans l’exemple suivant, nous avions la relation « strictement inférieur à ». Elle travaillait avec deux nombres, avec deux éléments. Nous avons dit que le nombre trois est strictement inférieur à cinq. Nous avons utilisé deux éléments, la relation est donc binaire.

Dans le dernier exemple, nous avons utilisé en tout trois éléments : la somme de deux nombres devait être égale au troisième. Nous avions donc les nombres a, b, c et il fallait que a + b = c. Cette relation serait ternaire.

Pour les arités supérieures, nous pouvons utiliser la notation de relation n-aire. Mais nous pouvons aussi l’utiliser pour les arités inférieures : nous pouvons écrire une relation binaire comme une relation 2-aire. Les éléments de la relation s’écrivent alors sous la forme de n-uplets ordonnés. Pour une relation binaire, on les écrit comme des couples, en général avec des parenthèses, parfois avec des crochets. Donc, si nous voulons écrire que les nombres trois et cinq sont dans la relation « strictement inférieur à », nous devons écrire les nombres sous forme de couple : (3 ; 5), plus rarement [3 ; 5] (notation qui, en France, désigne plutôt un intervalle). Attention, il faut respecter l’ordre, dans l’autre sens ce ne serait pas vrai : (3 ; 5) ≠ (5 ; 3) – cinq n’est pas strictement inférieur à trois.

Un exemple de famille

Avant de passer aux définitions mathématiques, essayons encore un exemple typique avec une famille. Considérons les membres d’une même famille :

• Max : grand-père paternel ;
• Paul : père ;
• Claire : mère ;
• Emma : fille ;
• Hugo : fils.

Cherchons d’abord tous les membres de la famille qui vérifient la relation : « être un homme ». C’est une relation 1-aire, c’est-à-dire unaire. Dans la relation, il n’y aura donc toujours qu’un seul élément, un seul membre de la famille. Il faut ici lister tous les membres de la famille de sexe masculin. L’ordre n’a pas d’importance pour l’instant. La relation « être un homme » contient donc ces éléments : {(Max) ; (Paul) ; (Hugo)}. Remarque que, même s’il s’agit d’une relation unaire, nous avons utilisé des parenthèses. Ce n’est pas du tout obligatoire, la notation resterait lisible sans eux, mais par souci de cohérence j’ai laissé les parenthèses. L’ensemble de tous les éléments de la relation est alors un simple ensemble, d’où les accolades.

Cherchons maintenant toutes les relations « père – fils ». C’est déjà, à première vue, une relation binaire, et dans le résultat il y aura des couples d’éléments. L’ensemble obtenu est le suivant : {(Paul ; Hugo), (Max ; Paul)}. Le père Paul est le père du fils Hugo, et le grand-père Max est le père du père Paul. Remarque que l’ordre compte vraiment : Paul y figure deux fois, mais une fois en première position, comme père, et une fois en seconde position, comme fils.

Essayons une autre relation : « parent – enfant ». Il y aura ici davantage d’éléments, car en première position peut se trouver n’importe lequel des parents, père ou mère, et en seconde position n’importe quel enfant, fils ou fille. Il faut aussi tenir compte du fait que le grand-père Max est un parent de Paul, mais pas de Claire. Paul et Claire sont en revanche tous deux parents d’Emma et de Hugo. Emma et Hugo ne sont parents de personne, car ils n’ont que dix-neuf et treize ans. Au final, on obtient ces couples : {(Max ; Paul), (Paul ; Emma), (Paul ; Hugo), (Claire ; Emma), (Claire ; Hugo)}. Remarque que Paul et Claire y figurent chacun deux fois : une fois comme parents de la fille Emma, et une fois comme parents de Hugo.

Une dernière subtilité concernant les relations binaires. Prenons la relation : « frère ou sœur – frère ou sœur ». Il faut ici se rappeler que, pour les relations, l’ordre compte, donc si nous écrivions seulement « Emma – Hugo » comme résultat de cette relation, ce serait faux, car c’est un tout autre couple que « Hugo – Emma ». Le résultat correct est donc : {(Emma ; Hugo), (Hugo ; Emma)}.

Et encore un tout petit exemple de relation ternaire : écris tous les triplets de cette relation : « grand-père – père – enfant ». Dans l’énoncé, nous n’avons qu’un seul grand-père et un seul père, mais deux descendants. Il ne suffit pas d’écrire seulement la possibilité avec Emma ou avec Hugo, il faut les écrire tous les deux. Ce serait différent si, à la fin, au lieu de « enfant », on avait « fils ». Le résultat correct est : {(Max ; Paul ; Emma), (Max ; Paul ; Hugo)}.

Définition d’une relation unaire

Essayons d’explorer les relations les plus simples, les relations unaires. Par relation unaire, on entend un ensemble d’éléments. L’ensemble {2 ; 3} peut représenter une relation. Par exemple la relation « être un nombre premier strictement inférieur à cinq » ou « être un diviseur non trivial du nombre six », selon notre interprétation.

Les lecteurs plus attentifs auront remarqué que la seconde relation est définie de façon un peu bizarre. Elle dit que la relation devrait contenir les diviseurs non triviaux du nombre six, et dans l’ensemble obtenu nous avons les nombres 2 et 3. Ne nous en manque-t-il pas ? Les nombres 1 et 6 sont des diviseurs triviaux, ils ne nous intéressent pas. Mais il devrait y avoir aussi les nombres négatifs, c’est-à-dire −2 et −3. L’ensemble de tous les diviseurs non triviaux du nombre 6 ressemble à ceci : {−3 ; −2 ; 2 ; 3}.

De même que pour les fonctions on précise l’ensemble de définition, pour une relation on précise l’ensemble support, c’est-à-dire l’ensemble dans lequel on choisit les éléments de la relation. Dans les exemples précédents, nous avons par exemple précisé la famille, où se trouvait le grand-père Max, etc. Nous n’avons pas choisi les pères et les enfants parmi toutes les familles du monde. Si nous précisons comme ensemble support l’ensemble des entiers naturels, alors notre relation sera correcte.

Nous pouvons maintenant passer à la définition de la relation. Si l’ensemble support est celui des entiers naturels, quels éléments notre relation unaire peut-elle contenir ? Encore des entiers naturels. Soit tous, soit seulement une partie. Nous pouvons donc dire que la relation donnée sera un sous-ensemble de l’ensemble des entiers naturels. Plus généralement, si nous avons une relation unaire R et un ensemble support M, alors R ⊂ M : la relation R est un sous-ensemble de l’ensemble M.

Définition d’une relation binaire

Comment cela se passe-t-il pour une relation binaire ? Dans une relation binaire, les éléments de la relation R sont des couples. Chaque élément du couple peut provenir d’un ensemble différent. Nous pouvons avoir la relation « parent – nombre d’enfants ». Le parent sera choisi dans l’ensemble des personnes, par exemple en Europe, et le nombre d’enfants dans l’ensemble des entiers naturels.

Comment obtient-on, à partir de deux ensembles, l’ensemble de tous les couples possibles ? Grâce au produit cartésien. Si nous avons les ensembles A = {a ; b ; c} et B = {1 ; 2}, le produit cartésien donne :

$$A\times B=\{(a;1),(a;2),(b;1),(b;2),(c;1),(c;2)\}$$

C’est l’ensemble de tous les couples possibles que l’on peut obtenir en mettant en première position un élément de l’ensemble A et en seconde position un élément de l’ensemble B. Donc, si nous avons une relation binaire R entre les ensembles A et B, nous pouvons définir cette relation comme R ⊂ A × B.

Si nous gardons les ensembles A et B précédents et que nous définissons entre eux la relation R ainsi : « lettre – rang de la lettre dans l’alphabet », cette relation sera : R = {(a ; 1), (b ; 2)}. La lettre c n’y sera pas, car dans le produit cartésien A × B ne figure pas le couple (c ; 3).

Définition d’une relation n-aire

Pour finir, définissons une relation n-aire générale R entre les ensembles M₁, M₂, …, M_n :

$$R\subset M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

Une relation est donc un sous-ensemble de n-uplets ordonnés. Un exemple de relation binaire est la relation « strictement inférieur à », c’est-à-dire <. Nous pouvons la définir entre des ensembles de nombres, par exemple entre entiers naturels non nuls. La relation ressemblera alors à ceci :

$$<\subset {\mathbb{N}}^{\ast }\times {\mathbb{N}}^{\ast }$$

(Ne t’étonne pas que le signe < soit placé de façon aussi bizarre à gauche. Ce n’est que le nom de la relation. On pourrait de nouveau y mettre R, où R représenterait la relation « strictement inférieur à ».)

Concrètement, cette relation ressemblerait à ceci :

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1;2),(1;3),(1;4),(1;5),\dots \\ & & (2;3),(2;4),(2;5),(2;6),\dots \\ & & (3;4),(3;5),(3;6),(3;7),\dots \\ & & (4;5),(4;6),(4;7),(4;8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

C’est l’ensemble des couples ordonnés tels que l’entier naturel en première position est strictement inférieur à l’entier naturel en seconde position.

Notation des relations

On nomme en général les relations par des lettres majuscules R, S, etc., ou par des symboles consacrés : <, ⊂, =, etc. D’après les définitions précédentes, on voit qu’une relation est en réalité un ensemble. D’ailleurs, presque tout en mathématiques est en fait un ensemble :-). Donc, si nous voulons dire qu’un élément r appartient à la relation R, nous pouvons l’écrire r ∈ R.

Par exemple, nous pouvons écrire (1 ; 3) ∈ <, ce qui signifie que le couple de nombres un et trois appartient à la relation « strictement inférieur à ». Pour les relations binaires, on rencontre souvent une notation plus agréable, que tu connais déjà depuis l’école primaire. Au lieu d’utiliser l’opérateur d’appartenance ∈, on écrit simplement 1 < 3. De même, on n’écrit en général pas (5 ; 5) ∈ =, mais on écrit 5 = 5.