Matrices

Une matrice sur un corps P est une application {1 ; 2 ; … ; n} × {1 ; 2 ; … ; m} → P. On note en général une matrice par une lettre majuscule : A = (…). Et maintenant, en clair.

Notions de base

Une matrice est tout simplement un tableau de n colonnes et m lignes, mais attention : selon les ouvrages, le rôle de n et de m peut être inversé. Dans chaque case du tableau, il y a un nombre ou une autre expression. Une matrice n’est pas forcément numérique, même si au début tu ne rencontreras sans doute que des matrices de nombres. Voici à quoi peut ressembler une matrice :

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 51 \end{array})$

Cette matrice a deux lignes et trois colonnes. Les éléments d’une matrice se notent à l’aide d’indices, avec une lettre minuscule à la place de la majuscule : a₁₁ = 0 ou a₂₃ = 51. Le premier indice donne la ligne et le second la colonne.

Types particuliers de matrices

Les matrices peuvent avoir diverses propriétés, et certaines matrices particulières ont même un nom.

Une matrice carrée est une matrice qui a autant de lignes que de colonnes. Si une matrice n’est pas carrée, elle est rectangulaire. Exemple de matrice carrée :

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})$

La matrice nulle est la matrice qui a des zéros à toutes les positions : a_ij = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

La matrice identité est la matrice carrée qui a des 1 sur la diagonale principale et des zéros partout ailleurs. La diagonale principale est en quelque sorte la « diagonale » qui va de la gauche vers la droite. Ce sont tout simplement les nombres situés aux positions où i = j.

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

Une matrice échelonnée est une matrice dont les lignes nulles sont à la fin (ou qui n’a aucune ligne nulle) et dont chaque ligne non nulle commence par plus de zéros que la ligne précédente. Voici trois matrices échelonnées :

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & π \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array})$

La matrice transposée d’une matrice A est la matrice A^T telle que $a_{i j} = a_{j i}^{T}$ , c’est-à-dire que l’élément qui était à la i-ième ligne et à la j-ième colonne se trouve, dans la matrice transposée, à la j-ième ligne et à la i-ième colonne. Autrement dit, on échange les lignes et les colonnes de la matrice.

$\begin{array}{rcl} {(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{ccc} 0 & 8 & 47 \\ 1 & 5 & 154 \\ 5 & 23 & 2 \end{array}) \\ {(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{array}$

Une matrice symétrique est une matrice carrée A qui vérifie l’égalité A = A^T. Les éléments symétriques par rapport à la diagonale sont égaux : on peut donc écrire a_ij = a_ji.

$A = (\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array})$

Une matrice antisymétrique ressemble beaucoup à une matrice symétrique, sauf que les éléments de l’autre côté de la diagonale ont le signe opposé : A = −A^T. Pour cette raison, les éléments de la diagonale principale doivent être nuls, car a = −a = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 3 & - 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & - 5 & 0 \end{array})$

Une matrice diagonale est une matrice qui a des zéros partout sauf sur la diagonale principale. Plus précisément, il doit y avoir des zéros partout ailleurs, mais ce qui se trouve sur la diagonale principale n’est pas imposé.

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Opérations de base sur les matrices

On peut additionner des matrices, les multiplier par un nombre et même les multiplier entre elles.

L’addition de matrices est assez intuitive. Si les matrices ont la même taille (= le même nombre de lignes et de colonnes), la matrice obtenue contient aux mêmes positions les sommes des nombres situés aux positions correspondantes des matrices de départ. Autrement dit, si on calcule A + B = C, alors a_ij + b_ij = c_ij.

$(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ 7 & - 54 & - 12 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 8 \\ 18 & 25 & 53 \\ 54 & 100 & - 10 \end{array})$

L’addition de matrices est évidemment commutative et associative : A + B = B + A et A + (B + C) = (A + B) + C.

La multiplication d’une matrice par un nombre est elle aussi intuitive. Tu prends le nombre et tu multiplies chaque élément de la matrice par ce nombre, rien de plus : k · A = k · a_ij.

$5 \cdot (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 25 \\ 40 & 25 & 115 \\ 235 & 770 & 10 \end{array})$

Produit de matrices

Le produit de matrices est un peu plus délicat, car il n’est pas aussi intuitif qu’on pourrait l’attendre. Il ne suffit pas de multiplier les éléments correspondants. D’abord, les matrices doivent vérifier une condition : le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde. Le reste est libre. On peut maintenant définir le produit (n est le nombre de colonnes de la première matrice) :

$(A \cdot B)_{i j} = \sum_{p = 1}^{n} a_{i p} \cdot b_{p j}$

Ça ne t’avance pas beaucoup, n’est-ce pas ? Essayons donc de l’expliquer plus simplement :-). Tu prends la première ligne de la première matrice et la première colonne de la seconde. Tu multiplies le premier élément par le premier élément, tu y ajoutes le produit du deuxième élément par le deuxième élément, et ainsi de suite. Tu obtiens ainsi l’élément c₁₁ de la nouvelle matrice C. Le mieux est de prendre un exemple. Multiplions ces deux matrices :

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Choisissons maintenant la première ligne de la première matrice et la première colonne de la seconde :

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Pour plus de clarté, notons C la nouvelle matrice. Pour obtenir son premier élément, il faut calculer : c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Je rappelle que le premier indice est celui de la ligne, puis vient celui de la colonne. En remplaçant, on obtient : 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Le premier élément vaut 19 :

$C = (\begin{array}{cc} 19 & ? \\ ? & ? \end{array})$

L’élément suivant, c₁₂, s’obtient de la même façon, en prenant la première ligne et la deuxième colonne. Ce calcul un peu long donne toujours l’élément que la ligne et la colonne ont en commun : la première ligne et la première colonne se croisent en c₁₁, la première ligne et la deuxième colonne en c₁₂. La figure suivante le montre bien :

Produit de matrices

Il ne reste plus qu’à calculer rapidement le reste de la matrice :

$\begin{array}{rcl} c_{12} & = & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22. \\ c_{21} & = & a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43. \\ c_{22} & = & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{array}$

Il suffit d’écrire ces nombres dans la matrice :

$C = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$

On peut vérifier le résultat par exemple dans Excel ou dans LibreOffice Calc, qui possèdent des fonctions pour travailler avec des matrices.

Quelques informations générales sur le produit de matrices. D’abord, le produit de matrices n’est pas commutatif. En général, on n’a pas A · B = B · A, même si ce cas peut évidemment se produire. En revanche, le produit de matrices est associatif. Il est même distributif par rapport à l’addition : A (B + C) = AB + AC. Si on multiplie deux matrices a_ix · b_xn, la matrice obtenue est de taille i × n (elle a autant de lignes que la première matrice et autant de colonnes que la seconde).

Exemples

On donne ces trois matrices :

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) .$

Calcule le produit de matrices A · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 36 & 41 & 43 \\ 90 & 98 & 106 \\ 144 & 155 & 169 \end{array})$

Calcule le produit de matrices B · A.

Attention : le produit de matrices n’est pas commutatif, donc on ne peut pas affirmer que le résultat sera le même que dans le cas précédent. Il faut tout recalculer :

$(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 68 & 82 & 96 \\ 86 & 112 & 138 \\ 87 & 105 & 123 \end{array})$

Calcule les produits de matrices A · C et C · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 28 & 14 \\ 67 & 50 \\ 106 & 86 \end{array})$

On ne peut pas calculer le second produit, car le nombre de colonnes de la première matrice est différent du nombre de lignes de la seconde.

Opérations élémentaires sur les lignes

Pour travailler efficacement avec les matrices, il faut définir quelques opérations élémentaires. D’abord, on peut multiplier une ligne ou une colonne de la matrice par un nombre non nul. L’effet est le même que pour la multiplication de la matrice par k, mais seulement sur cette ligne ou cette colonne.

La deuxième opération consiste à ajouter k fois la j-ième ligne à la i-ième ligne. Même chose pour les colonnes. Cela sonne un peu effrayant, mais c’est en réalité simple. Montrons-le pour k = 1. Prenons cette matrice :

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Ajoutons maintenant la deuxième ligne à la première. On prend la deuxième ligne et on ajoute ses nombres à ceux de la première ligne, position par position. Les nombres de la deuxième ligne ne changent pas, seule la première ligne est modifiée :

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

On peut continuer. Essayons d’ajouter deux fois la première ligne à la troisième. On prend la première ligne de cette nouvelle matrice, on la multiplie par deux, ce qui donne la ligne (10 ; 14 ; 18), et on ajoute ces nombres à la troisième ligne. De nouveau, la première ligne ne change pas, seule la troisième est modifiée :

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 17 & 22 & 27 \end{array})$

Ajoutons maintenant à la troisième ligne la somme des deux premières. Il n’y a rien de nouveau : si on ajoute à la troisième ligne d’abord la deuxième, puis la première, on doit arriver au même résultat. La somme des deux premières lignes est : (5 ; 7 ; 9) + (4 ; 5 ; 6) = (9 ; 12 ; 15). La somme de cette ligne et de la troisième ligne est : (9 ; 12 ; 15) + (17 ; 22 ; 27) = (26 ; 34 ; 42).

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 26 & 34 & 42 \end{array})$

Encore une opération sur les colonnes (on les utilise en général moins souvent, car elles sont moins lisibles). Ajoutons la première colonne à la deuxième :

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 4 & 9 & 6 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Enfin, multiplions la deuxième ligne par 2 :

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 8 & 18 & 12 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Dépendance linéaire

Expliquons maintenant ce que sont des lignes ou des colonnes dépendantes. Une ligne est linéairement dépendante si on peut l’exprimer comme combinaison linéaire des autres lignes de la matrice. Autrement dit, si tu peux additionner diverses lignes de façon à obtenir la ligne cherchée, cette ligne est linéairement dépendante. Exemple :

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array})$

Si tu prends deux fois la première ligne plus la deuxième ligne, tu obtiens la troisième ligne. Si tu retranches cette combinaison de la troisième ligne, tu obtiens une ligne nulle (une ligne qui ne contient que des zéros). Cette ligne est donc dépendante. On effectue les opérations ainsi (on multiplie la première ligne par 2, on l’ajoute à la deuxième ligne, puis on retranche le résultat de la troisième) :

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Soit une matrice A à n lignes, où A_i désigne la i-ième ligne. On dit que la matrice ne contient aucune ligne linéairement dépendante si :

$α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n} = 0$

si et seulement si α₁, α₂, …, α_n = 0. Le zéro du membre de droite représente la ligne nulle. Autrement dit, la seule solution de cette équation est la solution nulle. Si on trouve une autre solution, la matrice contient une ligne linéairement dépendante. Même chose pour les colonnes. Pour la matrice précédente, on aurait :

$\begin{array}{rcl} 2 (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) + 1 (\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}) - 1 (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = \\ = (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Les valeurs des coefficients α sont donc α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

Le nombre de lignes ou de colonnes indépendantes donne le rang d’une matrice.

Matrices inversibles et non inversibles

Une matrice est dite inversible (ou régulière) si elle est carrée et de rang maximal (c’est-à-dire si elle ne contient aucune ligne linéairement dépendante). Une matrice carrée est dite non inversible (ou singulière) si elle n’est pas inversible (c’est-à-dire si elle contient au moins une ligne linéairement dépendante). Ces deux notions sont assez importantes : beaucoup de définitions reposent sur elles. De nombreuses choses ne sont définies que si la matrice est inversible.

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