Espaces vectoriels

Un espace vectoriel, parfois appelé espace linéaire, est un ensemble d’éléments qui doivent vérifier certaines propriétés, grâce auxquelles les éléments de cet ensemble, que nous appelons vecteurs, se comportent « bien ».

Exemple d’espace vectoriel

Avant de définir un espace vectoriel, voyons un exemple que tu connais sûrement déjà du lycée, sauf que tu ne savais pas qu’il s’agit d’un espace vectoriel. Ce sont les vecteurs classiques du plan.

Par vecteur du plan, on entend un couple ordonné (a ; b), où a, b ∈ ℝ. Ce sont des coordonnées quelconques dans l’espace ℝ² (c’est-à-dire le produit cartésien ℝ × ℝ). On peut représenter un tel vecteur par une flèche allant du point (0 ; 0) au point (a ; b). Le vecteur (2 ; 3) ressemblerait à ceci :

Nous savons qu’on peut additionner des vecteurs selon la règle (a ; b) + (c ; d) = (a + c ; b + d). La somme des vecteurs (2 ; 3) + (4 ; 1) serait égale au vecteur (2 + 4 ; 3 + 1) = (6 ; 4). Graphiquement, on la représenterait ainsi :

On peut aussi multiplier un vecteur par un nombre k, où k est un nombre réel. Ce produit par k se note k · (a ; b). Le résultat est un nouveau vecteur, défini par k · (a ; b) = (k · a ; k · b). Graphiquement, le vecteur est « étiré », « raccourci » ou change de sens. Si on prend le vecteur u = (2 ; 3), alors les vecteurs 2 · u, $\frac{1}{2}u$ et −1 · u ressemblent à ceci :

Nous démontrerons plus tard que l’ensemble de tous les vecteurs ℝ² muni des opérations ainsi définies forme un espace vectoriel. Commençons par définir l’espace vectoriel, puis illustrons chaque propriété sur cet espace ℝ².

Définition d’un espace vectoriel

Un espace vectoriel (ou espace linéaire) est un ensemble non vide V dont les éléments sont appelés vecteurs. De plus, deux opérations doivent exister sur cet ensemble : l’addition de vecteurs, c’est-à-dire une application V × V ⟶ V, et la multiplication d’un vecteur par un nombre réel, c’est-à-dire une application ℝ × V ⟶ V. (Plus généralement, on peut remplacer l’ensemble des nombres réels par n’importe quel corps, mais nous y reviendrons dans de prochains articles.) L’addition de vecteurs se note avec le signe +, la multiplication avec ·. Ces deux opérations doivent vérifier les conditions suivantes. C’est-à-dire que, pour tous x, y, z ∈ V et pour tous a, b ∈ ℝ, on doit avoir (remarque que les vecteurs x, y, z sont en gras, alors que les nombres a, b sont en écriture normale) :

1. x + y = y + x : l’addition de vecteurs est commutative. Si on revient à l’exemple des vecteurs de ℝ², peu importe qu’on additionne les vecteurs ainsi (2 ; 3) + (4 ; 1) ou dans l’autre sens : (4 ; 1) + (2 ; 3) .

• (x + y) + z = x + (y + z) : l’addition de vecteurs est associative. Là encore, on peut remplacer les vecteurs par des vecteurs de ℝ² et on verra que cela fonctionne.
• a · (b · x) = (a · b) · x : loi d’associativité de la multiplication. Pour nos vecteurs, 4 · (5 · (6 ; 7)) est égal à (4 · 5) · (6 ; 7). Les deux calculs aboutissent au vecteur (20 · 6 ; 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y : loi de distributivité pour les vecteurs de V. On voit encore que 2 · ((2 ; 3) + (4 ; 5)) est égal à 2 · (2 ; 3) + 2 · (4 ; 5). Les deux expressions aboutissent au vecteur (2 · 6 ; 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x : distributivité de l’addition des nombres.
• 1 · x = x : si on multiplie un vecteur quelconque par le nombre réel 1, la valeur du vecteur ne change pas. Dans notre cas, 1 · (5 ; 8) = (5 ; 8).
• Il existe un élément 0 ∈ V tel que 0 · x = 0. Le zéro en gras, c’est-à-dire 0, est ce qu’on appelle le vecteur nul, tandis que le zéro en écriture normale 0 est simplement le nombre zéro. Cette propriété dit que V doit contenir un vecteur qu’on obtient en multipliant n’importe quel vecteur x ∈ V par le nombre zéro. Pour notre espace ℝ², c’est le vecteur (0 ; 0), car pour tous les vecteurs (a ; b) ∈ ℝ², on a 0 · (a ; b) = (0 ; 0).

Ce sont toutes les propriétés que doit vérifier un espace vectoriel (linéaire) V. Si on multiplie un vecteur par un nombre réel a, on appelle ce nombre a un scalaire. On parle donc souvent de multiplication par un scalaire, et on entend par là une expression de la forme a · x, où a est un nombre réel et x un vecteur.

Le double sens du signe plus +

Attention : dans certaines expressions, le signe plus + peut avoir un double sens. Par exemple, dans la propriété de distributivité de l’addition des nombres, on a l’égalité (a + b) · x = a · x + b · x. Le signe + du membre de gauche additionne des nombres réels, puisque a et b sont des nombres réels, alors que celui du membre de droite additionne des vecteurs, puisque le résultat du produit a · x est un vecteur.

Cette reconnaissance automatique est très courante en mathématiques : le contexte indique toujours de quelle addition il s’agit. Si on a l’expression x + y et que x, y sont des vecteurs, on utilise la somme de vecteurs. Si x, y étaient des nombres, on utiliserait l’addition usuelle. S’il s’agissait de matrices, on utiliserait la somme de matrices, etc.

On pourrait utiliser un autre signe pour l’addition de vecteurs, par exemple ⊕. On pourrait alors écrire la distributivité de l’addition des nombres ainsi : (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Le + usuel désigne ici l’addition des nombres réels a, b, le signe ⊕ l’addition des vecteurs. Mais le plus souvent, on utilise le même signe + pour les deux additions et son sens se déduit du contexte. Il en va de même pour le signe ·.

L’espace vectoriel ℝ²

Dans la première partie, nous avons défini l’espace vectoriel V = ℝ² ; démontrons maintenant qu’il s’agit bien d’un espace vectoriel. Nous devons d’abord vérifier que les opérations d’addition et de multiplication sont bien définies. L’addition doit additionner deux vecteurs et le résultat doit être un nouveau vecteur. C’est le cas, car (a ; b) + (c ; d) = (a + c ; b + d). La somme de deux vecteurs de ℝ² est un nouveau vecteur de ℝ².

Si, par exemple, on définissait l’addition de vecteurs comme la somme de leurs normes, ce ne serait pas une opération d’addition valable dans un espace vectoriel. La norme du vecteur (a ; b) se calcule par $\sqrt{a^2+b^2}$. Le résultat de la somme (3 ; 4) + (5 ; 12) serait alors le nombre $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, qui n’est pas un vecteur de l’espace ℝ².

Ensuite, nous devons vérifier que la multiplication est bien définie. La multiplication multiplie un nombre réel par un vecteur de ℝ² et le résultat doit être un nouveau vecteur de ℝ². C’est encore le cas, car la multiplication par un scalaire est définie par k · (a ; b) = (k · a ; k · b).

Nous vérifions ensuite, l’une après l’autre, les 7 propriétés que doit vérifier un espace vectoriel. À la place des vecteurs x, y, nous mettrons nos vecteurs (a ; b), (c ; d), … selon ce qui nous arrange ; ne t’en effraie pas.

1. x + y = y + x, commutativité de l’addition de vecteurs. L’addition de vecteurs que nous avons définie est-elle commutative ? Oui, car elle est définie par (a ; b) + (c ; d) = (a + c ; b + d). Si on échange les vecteurs dans le membre de gauche, on obtient : (c ; d) + (a ; b) = (c + a ; d + b). Comme c + a est la somme de deux nombres réels et que l’addition des nombres réels est une opération commutative, on a c + a = a + c, et de même pour la seconde composante : d + b = b + d. On a donc (a + c ; b + d) = (c + a ; d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Ce sera un petit jeu avec les parenthèses. Il s’agit en fait de simples transformations, mais elles seront peu lisibles, car il y aura simplement trop de parenthèses. Essayons de calculer cette somme de vecteurs :

$$((a;b)+(c;d))+(e;f)=(a+c;b+d)+(e;f)=((a+c)+e;(b+d)+f)$$

Comme a, c, e sont des nombres réels et que l’addition est associative sur les nombres réels, on a (a + c) + e = a + c + e. De même pour la seconde composante. On peut donc écrire que

$$((a;b)+(c;d))+(e;f)=(a+c+e;b+d+f)$$

Essayons maintenant d’additionner les mêmes vecteurs avec les parenthèses placées autrement :

$$(a;b)+((c;d)+(e;f))=(a;b)+(c+e;d+f)=(a+(c+e);b+(d+f))$$

Là encore, a + (c + e) = a + c + e, donc on peut écrire que

$$(a;b)+((c;d)+(e;f))=(a+c+e;b+d+f)$$

Nous voyons ainsi que, quelle que soit la façon de placer les parenthèses dans une somme de trois vecteurs, on arrive toujours au même vecteur (a + c + e ; b + d + f). L’opération d’addition dans ℝ² est donc associative et vérifie aussi la deuxième propriété des espaces vectoriels.

Tu peux essayer de remplacer les variables a, …, f par des nombres concrets et tu verras que cela fonctionne.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Là encore, développons d’abord le membre de gauche, en remplaçant x par le vecteur (c ; d) :

$$a\cdot (b\cdot (c;d))=a\cdot (b\cdot c;b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c);a\cdot (b\cdot d))$$

Comme la multiplication des nombres réels est associative, on obtient l’égalité a · (b · c) = a · b · c. On peut donc écrire :

$$a\cdot (b\cdot (c;d))=(a\cdot b\cdot c;a\cdot b\cdot d)$$

Développons maintenant le membre de droite de l’égalité, c’est-à-dire (a · b) · x :

$$(a\cdot b)\cdot (c;d)=((a\cdot b)\cdot c;(a\cdot b)\cdot d)$$

Là encore, (a · b) · c = a · b · c, donc :

$$(a\cdot b)\cdot (c;d)=(a\cdot b\cdot c;a\cdot b\cdot d)$$

Nous voyons que les deux membres de l’égalité aboutissent au même vecteur (a · b · c ; a · b · d), donc l’égalité est vraie.

• a · (x + y) = a · x + a · y. La méthode sera la même ; développons le membre de gauche :

$$a\cdot ((c;d)+(e;f))=a\cdot \left((c+e;d+f)\right)=(a\cdot (c+e);a\cdot (d+f))$$

Comme a, c, e sont des nombres réels, pour lesquels la distributivité est vraie, on obtient l’égalité : a · (c + e) = ac + ae. On peut donc écrire :

$$a\cdot ((c;d)+(e;f))=(ac+ae;ad+af)$$

Le membre de droite :

$$a\cdot (c;d)+a\cdot (e;f)=(ac;ad)+(ae;af)=(ac+ae;ad+af)$$

Nous voyons qu’après transformations, les membres de gauche et de droite sont égaux.

• (a + b) · x = a · x + b · x : nous procédons de façon très semblable à l’étape précédente. Transformation du membre de gauche :

$$(a+b)\cdot (c;d)=((a+b)\cdot c;(a+b)\cdot d)=(ac+bc;ad+bd)$$

Membre de droite :

$$a\cdot (c;d)+b\cdot (c;d)=(ac;ad)+(bc;bd)=(ac+bc;ad+bd)$$

• 1 · x = x : je ne crois pas que quelqu’un ait vraiment réussi à lire jusqu’ici, mais soit, continuons :-). Cette propriété est au moins simple. Nous devons vérifier que 1 · (a ; b) = (a ; b). C’est évidemment vrai, car

$$1\cdot (a;b)=(1\cdot a;1\cdot b)=(a;b)$$

• Il existe un élément 0 ∈ ℝ² tel que 0 · x = 0 : c’est le vecteur (0 ; 0). Pour lui, on a 0 · (a ; b) = (0 ; 0), car

$$0\cdot (a;b)=(0\cdot a;0\cdot b)=(0;0)$$

Taille des espaces vectoriels

Quel est le plus petit espace vectoriel ? D’après la définition, un espace vectoriel est un ensemble non vide V ; la plus petite taille envisageable est donc un ensemble à un seul vecteur. D’après la septième propriété de la définition, l’espace doit contenir le vecteur nul. L’ensemble V = {0} est donc un candidat au titre de plus petit espace vectoriel.

On peut définir l’addition par 0 + 0 = 0 et la multiplication par a · 0 = 0. Quoi qu’on fasse, on obtient toujours le vecteur nul. Cet ensemble à un seul point possède manifestement les sept propriétés exigées.

Nous savons donc qu’il existe un espace vectoriel à un seul point. Existe-t-il un espace vectoriel à deux éléments ? Peut-on définir sur l’ensemble V = {x, 0} des opérations d’addition et de multiplication qui en feraient un espace vectoriel ?

La réponse est non : il n’existe pas d’espace vectoriel à deux points. Et il n’existe aucun autre espace vectoriel fini en dehors de celui à un seul point. Tous les autres espaces vectoriels sont infinis. Si, comme nous l’avons laissé entendre, on utilisait à la place de l’ensemble des nombres réels un autre corps, fini, on pourrait obtenir aussi d’autres espaces vectoriels finis.

Résumé

La définition des espaces vectoriels n’est pas tout à fait simple : les vecteurs et les opérations doivent vérifier en tout 7 conditions, ce qui n’est pas rien. En revanche, ces conditions sont assez triviales et compréhensibles – elles visent à ce qu’on puisse bien travailler avec les vecteurs. Grâce à ces conditions, on peut additionner des vecteurs d’un espace vectoriel sans devoir vérifier que le résultat n’est pas un vecteur d’un autre espace vectoriel. De même, on peut multiplier un vecteur par un nombre réel et on obtient toujours un vecteur du même espace. Que les vecteurs et leurs opérations respectent les lois commutative, associative et distributive est aussi assez naturel.

On pourrait définir un espace vectoriel de façon plus générale. Au lieu de l’ensemble des nombres réels, on peut prendre n’importe quel corps. Mais nous en reparlerons dans de prochains articles.