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Corps

Pour comprendre ce qui suit, tu n’as besoin d’aucune connaissance mathématique particulière. Il suffit de maîtriser les bases des mathématiques du lycée et d’avoir envie d’apprendre quelque chose de nouveau.

Le croque-mitaine nommé corps

Si le simple nom de corps te fait déjà frissonner, sache qu’il n’y a vraiment rien à craindre. Un corps est en réalité une chose très simple, à condition de le regarder sous le bon angle.

Un corps (au sens algébrique) est un ensemble quelconque muni de deux opérations binaires qui vérifient certaines conditions. C’est tout, ni plus ni moins. Comme tu le vois, rien de dangereux ni d’effrayant. Et maintenant que nous le savons, nous pouvons aller y regarder de plus près, sans crainte.

L’ensemble des éléments du corps

Notons T notre ensemble quelconque et appelons ses éléments les éléments du corps. Crois-moi, l’ensemble des éléments d’un corps peut être absolument quelconque. Ce peut être l’ensemble des nombres pairs, l’ensemble de toutes les chaussettes dont tu n’as pas retrouvé la jumelle, ou encore ta collection de peluches d’éléphants. La seule condition, ou presque, est que l’ensemble T ne soit pas vide. Sinon, on ne s’amuserait pas beaucoup.

Opération binaire

Si tu ne vois pas tout de suite ce qu’est une opération binaire, imagine-la comme un petit moulin. Tu y mets deux éléments (d’où le « binaire » du nom) d’un ensemble, tu tournes doucement la manivelle et il en sort un autre élément de ton ensemble. La division, par exemple, est une belle opération binaire. Tu veux savoir combien font 10 / 5 ? Prends l’opération binaire qu’est la division (le moulin), l’ensemble étant celui des nombres réels. Verse d’abord le dix dans le moulin, puis le cinq, tourne la manivelle et, ô surprise, il en sort un deux.

Nous allons appeler nos deux opérations addition et multiplication et les noter ⊕ et ⊗. Ne te laisse pas tromper par ces noms : ces opérations n’ont pas forcément grand-chose à voir avec l’addition et la multiplication que nous utilisons d’habitude. C’est justement parce que les éléments d’un corps peuvent être des objets quelconques. Et notre « addition » et notre « multiplication » ne s’appliquent évidemment pas aux peluches d’éléphants ni aux chaussettes.

Les opérations sur un corps

Les opérations ⊕ et ⊗ doivent vérifier certaines conditions. Nous ne pouvons pas les définir tout à fait comme nous voulons. Le but de ces opérations est en effet de généraliser l’addition et la multiplication ordinaires des nombres. Nous voulons pouvoir les appliquer aux éléments du corps qui, nous le savons déjà, peuvent être des objets absolument quelconques, pas seulement des nombres. Pourtant, nous voulons que ⊕ et ⊗ gardent le sens de base de l’addition et de la multiplication. Pour cela, nous posons dix conditions que ces opérations doivent vérifier pour que notre structure soit un corps. Nous appellerons ces conditions les axiomes du corps. Les voici :

  1. Commutativité de l’addition – Pour deux éléments quelconques a, b du corps T, on doit avoir a ⊕ b = b ⊕ a.
  • Associativité de l’addition – Pour trois éléments quelconques a, b, c du corps T, on doit avoir (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
  • Existence d’un élément neutre pour l’addition – Il doit exister un élément du corps T, que nous notons 0 (attention à ne pas confondre avec le nombre 0), tel que pour tout élément a du corps T on ait a ⊕ 0 = a.
  • Existence d’un opposé – Pour tout élément a du corps T, il doit exister un élément du corps T, que nous notons -a, tel que a ⊕ −a = 0.
  • Commutativité de la multiplication – Pour deux éléments quelconques a, b du corps T, on doit avoir a ⊗ b = b ⊗ a.
  • Associativité de la multiplication – Pour trois éléments quelconques a, b, c du corps T, on doit avoir (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
  • Existence d’un élément neutre pour la multiplication – Il doit exister un élément du corps T, que nous notons 1 (attention à ne pas confondre avec le nombre 1), tel que pour tout élément a du corps T on ait a ⊗ 1 = a.
  • Existence d’un inverse – Pour tout élément a du corps T différent de 0, il doit exister un élément du corps T, que nous notons a−1, tel que a ⊗ a−1 = 1.
  • Distributivité – Pour trois éléments quelconques a, b, c du corps T, on doit avoir a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
  • Non-trivialité – L’élément neutre de l’addition et celui de la multiplication ne doivent pas être le même. Donc 0 ≠ 1

Pour ceux qui voudraient s’entraîner au formalisme mathématique, j’ai écrit ici les axiomes du corps comme on les écrit dans le jargon des mathématiciens.

  1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
  • ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
  • ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
  • ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
  • ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
  • ∀a ∈ T   ∃a−1 ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a−1 = 1
  • ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
  • 0 ≠ 1

Tu te dis peut-être qu’il y a terriblement d’axiomes. Mais ils sont tous faciles à comprendre quand on voit ce qu’ils signifient. Les quatre premiers décrivent les propriétés habituelles de l’addition, et les quatre suivants celles de la multiplication, qui ressemblent beaucoup aux premières. Le neuvième axiome dit comment l’addition et la multiplication sont reliées. Seul le dixième est plutôt une affaire technique, qui garantit que le corps ne puisse pas avoir de propriétés étranges.

Remarque comme nous avons joliment évité d’introduire la soustraction et la division. Ces opérations sont définies à l’aide de l’ajout de l’opposé et de la multiplication par l’inverse. Ainsi, par exemple, 4 − 2 n’est qu’une abréviation de 4 + (−2) et 4 / 2 n’est qu’une abréviation de 4 · 2−1.

Panorama des corps

Nous avons maintenant introduit formellement la notion de corps. Si l’on voulait exprimer intuitivement ce qu’est un corps, on pourrait dire que c’est une structure qui permet d’additionner, de soustraire, de multiplier et de diviser des objets quelconques, du moment qu’on sait y définir ces opérations, et cela de façon semblable à ce que l’on fait en arithmétique élémentaire.

Notre premier corps

Maintenant que nous avons si bien imaginé et décrit les corps, construisons-en un vrai. Commençons par choisir l’ensemble des éléments du corps. Pour l’instant, nous n’allons pas trop expérimenter avec des peluches d’éléphants ou des chaussettes, et nous choisissons comme éléments du corps des entiers naturels. Pour que tout reste vraiment simple, nous ne prenons que les nombres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4. Notre ensemble T ressemblera donc à ceci :

T={0;1;2;3;4}

Il ne reste plus qu’à définir astucieusement les opérations ⊕ et ⊗. Nous nous aidons ici de l’addition et de la multiplication que nous connaissons déjà par l’arithmétique. Nous les modifions seulement un peu pour qu’elles fonctionnent aussi dans notre corps.

  • Opération ⊕ La somme de deux éléments a ⊕ b s’obtient en calculant le reste de la division par cinq de la somme a + b . Les additions dans notre corps ressemblent donc à ceci : 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 etc.
  • Opération ⊗ Le produit de deux éléments a ⊗ b s’obtient en calculant le reste de la division par cinq du produit ab . Les multiplications dans notre corps ressemblent donc à ceci : 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    etc.

Et voilà. Nous avons maintenant fabriqué un corps à part entière. Il faudrait encore vérifier tous les axiomes, pour être sûrs d’avoir fabriqué un vrai corps et non une horreur quelconque.

  • La commutativité et l’associativité de l’addition et de la multiplication, tu es certainement capable de les vérifier toi-même, de même que la distributivité.
  • De la façon dont nous avons défini l’addition et la multiplication, il découle aussi qu’il existe un élément neutre de l’addition (dans notre cas, c’est justement le nombre 0) et un élément neutre de la multiplication (dans notre cas 1), et qu’ils sont différents.
  • Il ne nous reste donc plus qu’à vérifier l’existence de l’opposé et de l’inverse. Nous voyons tous que, pour chaque nombre de l’ensemble {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}, il existe un nombre du même ensemble tel que le résultat de leur somme soit zéro ou cinq (donc 0 dans notre corps).
  • C’est analogue pour la multiplication : pour chaque nombre non nul de cet ensemble, il existe un nombre avec lequel le produit donne le reste 1 dans la division par cinq (donc 1 dans notre corps). Par exemple, le nombre 4 a pour inverse 4, car 4 · 4 = 16 et le reste de la division par 5 est 1. Essaie de trouver les autres inverses !

Exemples d’autres corps

Nous venons de fabriquer un corps qui a cinq éléments. Il s’avère que l’on peut fabriquer de la même façon d’autres corps dont le nombre d’éléments est un nombre premier. On appelle ces corps les corps ℤ/pℤ, où p est le nombre d’éléments du corps. Ils sont très souvent utilisés, aussi bien en mathématiques qu’en informatique, et bien sûr dans toutes sortes d’exercices de contrôle.

Peut-on fabriquer des corps dont le nombre d’éléments n’est pas premier ? Oui, mais pas de la façon que je viens de montrer. Pourquoi ? Imagine un corps fabriqué par la méthode décrite plus haut, qui n’a que quatre éléments. Dans un tel corps, on a 2 ⊗ 2 = 0. Le produit de deux nombres non nuls est donc nul. Cela ne doit pas arriver dans un corps. Ce n’est pas directement interdit par les axiomes du corps, mais on peut le déduire assez facilement de ceux-ci. Il se trouve cependant que, si l’on utilise des polynômes à la place des nombres comme éléments du corps, on peut fabriquer aussi des corps dont le nombre d’éléments est une puissance d’un nombre premier. Un corps à quatre éléments existe donc, puisque quatre est une puissance de deux.

Bien sûr, il existe aussi des corps ayant une infinité d’éléments. Ainsi, par exemple, l’ensemble des nombres réels muni de notre addition et de notre multiplication habituelles forme aussi un corps. Cela vaut évidemment non seulement pour les nombres réels, mais aussi pour les nombres rationnels et pour les nombres complexes. Les entiers naturels et les entiers relatifs ne forment pas un corps : il manque les opposés aux premiers et les inverses aux seconds.

Et le meilleur pour la fin. Personne ne nous impose évidemment que les corps soient formés de nombres, de polynômes ou même d’objets mathématiques quelconques. Comme je l’ai déjà dit, tu peux fabriquer un corps de chaussettes, de peluches d’éléphants, etc. Le seul problème sera sans doute de définir l’addition et la multiplication sur des éléphants. Ce qui est intéressant, c’est que tu ne pourras jamais fabriquer un corps qui contienne six chaussettes, car six n’est ni un nombre premier ni une puissance d’un nombre premier. Mais tu peux très bien fabriquer un corps de dix-sept chaussettes, numéroter chacune d’elles (la chaussette blanche sera 0, la noire 1, la verte 2, etc.) et les additionner ensuite comme nous l’avons fait dans notre corps à cinq éléments.

Et à quoi tout cela sert-il ?

Si tu as lu jusqu’ici, tu te demandes peut-être à quoi diable peut servir une structure aussi folle que le corps. Eh bien, les corps sont très importants, du point de vue théorique, car ils décrivent et surtout généralisent ce que l’on pourrait appeler le calcul, c’est-à-dire l’arithmétique, mais aussi du point de vue pratique, car de nombreux problèmes de mathématiques ou d’informatique se résolvent plus facilement quand on les imagine comme des calculs dans des corps. Les corps finis ont par exemple une grande importance pour les codes des CD ou des DVD. Par ailleurs, pour ce qui est de l’algèbre linéaire elle-même, les corps sont la pierre angulaire d’autres structures, plus complexes et donc bien plus utiles et intéressantes, comme les espaces vectoriels. Ceux-ci forment en effet une sorte de base de toute l’algèbre linéaire.

Cet article a été écrit par Lishaak.