Vecteurs

Un vecteur est une grandeur qui, outre sa norme, possède aussi une direction et un sens. Il se distingue ainsi d’un nombre ordinaire, appelé scalaire, qui n’a qu’une valeur.

Segment orienté

Dans le plan, considérons deux points distincts A, B. On peut tracer entre ces points un segment, que l’on note en général [AB] ; l’ordre des points n’a alors pas d’importance : le segment [AB] est exactement le même que le segment [BA].

Ce n’est pas toujours commode ; on introduit donc la notion de segment orienté, dans lequel on distingue le point initial (ou origine) et le point final (ou extrémité). Le segment orienté AB a pour origine A et pour extrémité B. Sur une figure, on représente un segment orienté par une flèche ; dans le texte, on le note avec une flèche au-dessus des points : $\overrightarrow{AB}$. Exemple :

En bleu, le segment [AB] ; en rouge, le segment orienté $\overrightarrow{CD}$. Si un segment orienté $\overrightarrow{AB}$ vérifie A = B, on l’appelle segment orienté nul (ou bipoint nul). Un tel segment a le même point initial et le même point final : on ne le prendrait pas pour un segment, puisqu’il ne s’agit en fait que d’un seul point.

La longueur d’un segment orienté est la même que celle du segment ordinaire. On a $\parallel \overrightarrow{AB}\parallel =AB$.

Direction et sens d’un segment orienté

Regarde les deux segments orientés $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ suivants :

À première vue, on voit que ces segments orientés ont la même direction et le même sens. On pourrait donner une définition rigoureuse de « direction » et de « sens », mais restons-en à la notion intuitive. En gros, deux segments orientés ont la même direction lorsqu’ils sont parallèles, et le même sens si, de plus, l’un ne pointe pas dans le sens opposé à l’autre. Voici des couples de segments orientés qui ont la même direction et le même sens :

Les derniers, en vert, sont les segments orientés $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$. Voici maintenant des couples de segments qui n’ont pas la même direction ou pas le même sens :

Qu’est-ce qu’un vecteur ?

Revenons à la figure des deux segments orientés de même direction et de même sens :

On voit que ces segments orientés ont non seulement la même direction et le même sens, mais aussi la même longueur. Ils ne diffèrent que par leur emplacement. Des segments orientés ayant la même direction, le même sens et la même longueur représentent un seul et même vecteur.

Un même vecteur peut donc être tracé d’une infinité de manières dans le plan (ou dans l’espace) : il suffit de prendre n’importe quel segment orienté ayant la même direction, le même sens et la même longueur que le vecteur donné. Les segments orientés suivants représentent tous un seul et même vecteur :

Un vecteur est déterminé uniquement par sa norme, sa direction et son sens. La norme, la direction et le sens du vecteur sont ceux du segment orienté qui le représente. On écrit en général les vecteurs en gras et avec une flèche, comme les segments orientés. On peut ainsi noter le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{AB}}$, ou plus simplement le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Un segment orienté donné est alors un représentant du vecteur. Dans la figure précédente, il y a 7 segments orientés au total, chacun étant un représentant différent du vecteur. Les segments orientés $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{MN}$ représentent le même vecteur, disons $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, mais il s’agit de deux représentants différents du vecteur $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Vecteurs colinéaires

Considérons deux vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$. On dit que ces vecteurs sont colinéaires s’ils sont parallèles. Les vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ n’ont pas nécessairement la même norme. Ils ont soit le même sens, soit des sens contraires. Exemples de vecteurs colinéaires :

Tous les vecteurs rouges sont colinéaires – ils sont parallèles. Peu importe leur sens : qu’ils pointent vers le coin supérieur droit ou vers le coin inférieur gauche. Le vecteur bleu $\overrightarrow{GH}$ n’est pas colinéaire.

Toutefois, si deux vecteurs colinéaires ont le même sens, on dit qu’ils sont colinéaires de même sens ; sinon, ils sont colinéaires de sens contraires. Revenons à la figure précédente : les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{EF}$ sont colinéaires de même sens, tandis que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{KL}$ sont colinéaires de sens contraires.

Coordonnées des vecteurs

On sait déjà qu’un vecteur peut être représenté par une infinité de segments orientés. L’un d’eux a son point initial à l’origine du repère, au point (0 ; 0) dans le plan et au point (0 ; 0 ; 0) dans l’espace. Regarde la figure suivante :

Les segments orientés $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont la même direction, le même sens et la même longueur : ils représentent un seul vecteur. Par ailleurs, le segment $\overrightarrow{CD}$ part de l’origine du repère, puisque les coordonnées du point C sont (0 ; 0). Il en va de même pour le couple de segments $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{KL}$.

Puisque les segments $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ partent de l’origine, on peut convenir de désigner ces vecteurs uniquement par leur extrémité. Le point initial est toujours le même (c’est l’origine du repère) ; pour distinguer les segments $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$, il suffit donc de noter leurs points finaux.

On dit que le vecteur $\overrightarrow{AB}$, et donc aussi le vecteur $\overrightarrow{CD}$, a pour coordonnées (3 ; 1) : ce sont les coordonnées du point D, l’extrémité du segment $\overrightarrow{CD}$. Le vecteur $\overrightarrow{KL}$ a quant à lui pour coordonnées (−1 ; 4), celles du point F.

Comment calculer les coordonnées d’un vecteur

Passons maintenant à la méthode mathématique pour déterminer les coordonnées d’un vecteur. On part du fait que l’on connaît les coordonnées des points A, B qui définissent le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Soit donc le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ défini par les points A(2 ; 3) et B(5 ; 4). C’est le vecteur rouge situé plus haut dans la figure précédente. Comment trouver les coordonnées du point D, c’est-à-dire l’extrémité du segment orienté qui représente le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et qui part de l’origine ?

Il suffit de déplacer tout le segment $\overrightarrow{AB}$ jusqu’à l’origine du repère. Pour amener le point A à l’origine, on le déplace de 2 carreaux vers la gauche et de 3 carreaux vers le bas. Il en va de même pour le point B. Autrement dit, on soustrait les coordonnées du point A à celles des points A et B. On place ainsi le segment $\overrightarrow{AB}$ à l’endroit où est tracé le segment $\overrightarrow{CD}$. On peut écrire :

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2;3)-(2;3)& =& (0;0)\\ B-A=(5;4)-(2;3)& =& (3;1)\end{array}$$

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ sont donc (3 ; 1) : ce sont celles de l’extrémité du segment orienté qui part de l’origine.

Plus généralement, si le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ est défini par les points A(x₁ ; y₁) et B(x₂ ; y₂), on obtient les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ ainsi :

$$B-A=(x_2-x_1;y_2-y_1)$$

Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ s’écrivent sous forme de colonne ; le vecteur précédent s’écrit donc : $\overrightarrow{\mathbf{u}}\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$.

Revenons encore à la figure pour calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KL}$. Les points K et L ont pour coordonnées K(−2 ; 1), L(−3 ; 5). Les coordonnées du vecteur sont donc

$$L-K=(-3;5)-(-2;1)=(-1;4)$$

On constate que l’on retrouve bien les coordonnées du point F.

Comment calculer la norme d’un vecteur

Une fois les coordonnées connues, on calcule facilement la norme. D’après le théorème de Pythagore, on en déduit sans peine que la norme d’un vecteur de coordonnées $\overrightarrow{\mathbf{u}}\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$ dans le plan est

$$\parallel \overrightarrow{\mathbf{u}}\parallel =\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

La figure suivante montre que les coordonnées du vecteur correspondent aux longueurs des côtés du triangle que nous avons construit, et qu’en appliquant le théorème de Pythagore on calcule facilement la norme du vecteur.

Pour le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$, la norme vaut

$$\parallel \overrightarrow{\mathbf{u}}\parallel =\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Voici maintenant deux exercices pour s’entraîner.

1. Détermine les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ défini par les points A(3 ; 7), B(−1 ; 0). La méthode est ici très simple et directe. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Le vecteur a donc pour coordonnées $\overrightarrow{\mathbf{u}}\left(\begin{array}{c}-4\\ -7\end{array}\right)$

2. On sait que le vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{\mathbf{u}}\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$ et qu’il est défini par les points A(6 ; 6) et B(x₁ ; y₁), c’est-à-dire $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$. Trouve les coordonnées du point B.

   Écrivons à nouveau notre équation bien connue, puis isolons simplement l’inconnue :

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   On obtient la seconde coordonnée par le même procédé :

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Le point B a pour coordonnées (8 ; 9).