Distributions uniforme et normale

Il existe deux distributions typiques que l’on rencontre couramment, y compris dans la vie réelle. Il s’agit de la distribution uniforme et de la distribution normale.

Distribution uniforme

Une distribution uniforme signifie que, dans notre série, toutes les valeurs apparaissent le même nombre de fois. On peut par exemple compter combien de mois avaient les années 2000, 2001, …, 2009 :

Si on lance un dé classique idéalisé, on a une probabilité de $\frac{1}{6}$ d’obtenir 1, une probabilité de $\frac{1}{6}$ d’obtenir 2, etc. On parle donc de loi uniforme, car chaque résultat a la même probabilité.

Une distribution non uniforme, ce serait par exemple un dé truqué sur lequel le six sortirait toujours avec une probabilité $\frac{1}{3}$. Les autres faces ne peuvent pas avoir elles aussi une probabilité $\frac{1}{3}$. On pourrait de même compter le nombre de jours de chaque mois – tous les mois n’ont pas le même nombre de jours, donc il ne s’agirait pas d’une distribution uniforme.

Loi normale

La loi normale s’appelle parfois aussi loi de Gauss. On ne l’utilise que pour des variables aléatoires continues. La loi normale centrée réduite a la forme suivante :

Cette courbe est décrite par ce qu’on appelle une fonction gaussienne, qui a la forme :

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

La fonction est assez compliquée, tu n’as pas besoin de la retenir. Mais on voit qu’on peut paramétrer la loi normale à l’aide de la moyenne et de l’écart type / de la variance. Pour différentes valeurs de la moyenne et de l’écart type, on peut alors obtenir différents graphiques :

La loi normale est importante parce qu’elle imite assez fidèlement diverses distributions qu’on peut rencontrer réellement. On voit que la courbe a toujours un seul maximum global, justement au point de la valeur moyenne. Par exemple, la courbe rouge a son maximum au point X = 0, la valeur moyenne de cette grandeur est donc zéro. La courbe est symétrique, elle admet pour axe de symétrie la droite perpendiculaire à l’axe des X qui passe par la moyenne, c’est-à-dire par le point X = 0. Autrement dit – la courbe est la même à gauche de zéro qu’à droite de zéro. La courbe verte a les mêmes propriétés, mais pas avec zéro, avec le point X = −2.

La loi normale peut décrire fidèlement la répartition de l’intelligence ou du QI (quotient intellectuel) parmi les gens. La valeur moyenne du QI est – par définition – 100. Et il y a à peu près autant de gens qui ont un QI supérieur à 100 que de gens qui ont un QI inférieur à 100. Il y a à peu près autant de gens légèrement sous la moyenne que de gens légèrement au-dessus, et autant d’imbéciles que de génies. Même si ça ne se voit pas toujours :-). Voici un graphique qui montre la répartition approximative du QI :

Pour la loi normale, l’écart type joue un grand rôle. Si on a une distribution normale d’écart type σ, alors environ 68 % des valeurs se trouvent dans l’intervalle [μ − σ ; μ + σ]. Donc environ 68 % des valeurs s’écartent de la moyenne d’au plus un écart type. Environ 95 % des valeurs se trouvent dans l’intervalle [μ − 2σ ; μ + 2σ] et 99,7 % des valeurs dans l’intervalle [μ − 3σ ; μ + 3σ]. La figure suivante le montre clairement :

Liens et sources

• Certaines figures viennent de Wikipédia, articles Loi normale et Intelligence.