Loi de probabilité

La loi de probabilité d’une variable aléatoire nous indique quelle est la probabilité que la variable aléatoire prenne justement une valeur donnée.

Loi d’une variable discrète

Prenons une variable aléatoire discrète, par exemple le nombre de demi-litres de bière que Marcel, le gros buveur du coin, boit par jour. En observant Marcel pendant un mois entier, on a construit le tableau suivant :

On voit que Marcel s’est encore un peu ménagé au début du mois, mais qu’ensuite il a enchaîné les bières. Et la semaine à partir du jour 11 a dû être de folie. Notons X cette variable aléatoire discrète. Ce qui nous intéresse maintenant, c’est la probabilité que Marcel boive exactement x demi-litres de bière un jour donné du mois.

Avant de calculer la probabilité elle-même, on construit un simple diagramme des effectifs. On repère toutes les quantités de demi-litres que Marcel a bues un jour ou l’autre et on les reporte dans le diagramme des effectifs. Par exemple, Marcel a bu dix demi-litres en tout neuf fois, donc pour la valeur dix demi-litres, on aura une barre de hauteur neuf :

On lit le diagramme ainsi : Marcel a bu six demi-litres trois jours dans le mois.

Quelle est la probabilité que Marcel ait bu dix demi-litres en un jour ? Formellement, on l’écrirait ainsi : on note P la probabilité et la question sur les dix demi-litres s’écrit P(X = 10). On demande ainsi quelle est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur dix.

La probabilité sera égale à la fréquence de la valeur donnée. On construit donc encore le diagramme des fréquences :

On peut maintenant dire que P(X = 10) est égal à 0,3, c’est-à-dire 30 %.

Probabilité empirique et probabilité théorique

Prenons pour exemple un dé classique. Essayons de le lancer 600 fois. Du point de vue de la probabilité théorique classique, on a autant de chances d’obtenir un 1, un 2, …, un 6. Chaque face du dé a une probabilité $\frac{1}{6}$ de sortir. Théoriquement, chaque face devrait donc sortir exactement cent fois, puisqu’on a lancé le dé six cents fois.

Bien sûr, cela n’arrivera probablement pas. Dans notre expérience, on peut obtenir ces résultats :

On voit que la fréquence, et donc la probabilité empirique, d’obtenir la face 1 du dé est 0,175, soit 17,5 %. C’est certes proche de la probabilité $\frac{1}{6}$, qui vaut 0,16666…, mais ce n’est pas tout à fait exact.

Cela ne veut pas dire que l’une ou l’autre des probabilités soit fausse. Fabriquer un dé parfaitement équilibré n’est pas du tout facile, et il peut aussi être difficile de réaliser le test lui-même, qui consiste à lancer le dé 600 fois.

La probabilité théorique fonctionne donc dans des conditions idéales, où on lancerait le dé à l’infini. Plus on lancerait longtemps un dé idéalement équilibré, plus les fréquences des différents résultats se rapprocheraient de la probabilité théorique.

C’est pourquoi on distingue deux probabilités – la probabilité théorique, qui repose sur des conditions idéalisées, et la probabilité empirique (aussi appelée statistique), qu’on calcule à partir des fréquences de nos données.

Pour calculer la probabilité empirique, il faut disposer d’une série de données suffisamment grande. Par exemple, on n’a observé notre buveur Marcel qu’un seul mois, mais il serait bien préférable de l’observer au moins un an.

Loi d’une variable continue

Pour une variable continue, on ne détermine pas la probabilité en un point précis, mais toujours sur un intervalle. La probabilité sera égale à l’aire sous la courbe, donc pour la calculer on aura besoin d’une intégrale. On peut avoir un tel graphique d’une variable continue, il peut s’agir par exemple de la mesure d’un écart en cm :

Sur l’axe des x, on a donc des valeurs en cm, sur l’axe des y des fréquences. Supposons qu’on ait seulement mesuré des valeurs dans l’intervalle [−4 ; 4]. La probabilité empirique de mesurer un écart dans cet intervalle est donc 1, c’est-à-dire 100 %.

Quel rapport avec l’aire ? On dit que l’aire ${\int }_{-4}^{4}p(x)$ , où p est la fonction de densité, nous donne justement ces 100 %. Si on demandait quelle est la probabilité empirique que la valeur soit dans l’intervalle [0 ; 4], on obtiendrait ce dessin :

La partie colorée précédemment correspondait à 100 %, celle-ci correspond à 50 %, car l’aire est visiblement deux fois plus petite. Précisément, on exprimerait la probabilité empirique comme le rapport

$$\frac{{\int }_0^{4}p(x)}{{\int }_{-4}^{4}p(x)}.$$

Loi des grands nombres

Le chapitre précédent est lié à la célèbre loi des grands nombres. De façon informelle, elle dit que, pour un grand nombre d’épreuves indépendantes, la fréquence (probabilité empirique) se rapproche de la probabilité théorique.

On peut de nouveau se l’imaginer avec un lancer de pièce. On peut obtenir pile ou face, chaque côté a une probabilité $\frac{1}{2}$, soit 50 %. Si on lance la pièce quatre fois, on peut obtenir trois fois pile et une fois face. Les fréquences sont donc $\frac{3}{4}$ et $\frac{1}{4}$. C’est assez loin de $\frac{1}{2}$.

Si on lance la pièce dix fois en tout, on peut obtenir sept fois pile et trois fois face. Les fréquences sont $\frac{7}{10}$ et $\frac{3}{10}$. C’est encore loin de $\frac{1}{2}$, mais ces nombres sont quand même plus proches d’un demi que les fréquences précédentes.

On pourrait continuer ainsi. Si on lançait la pièce mille fois, on pourrait obtenir 520 fois pile et 480 fois face. Les fréquences sont alors $\frac{13}{25}$ et $\frac{12}{25}$, qui se rapprochent déjà beaucoup d’un demi (pour te faire une idée, $\frac{13}{25}=0,52$).

Remarque que, même si les fréquences sont bien plus proches d’un demi, les effectifs sont, eux, beaucoup plus éloignés de l’effectif « idéal ». Quand on a lancé la pièce dix fois, l’effectif idéal pour chaque côté était 5. C’est-à-dire cinq fois pile et cinq fois face. Comme pile est sorti sept fois, cela donne un écart de deux lancers : 7 − 5 = 2. On a eu « deux lancers de différence » par rapport à la situation idéale.

Mais quand on a lancé la pièce mille fois, pile est sorti 520 fois, ce qui donne un écart de 20 lancers par rapport à l’idéal, car dans le cas idéal chaque côté aurait dû sortir 500 fois. On pourrait donc croire que plus on lance, plus les résultats s’éloignent.

Mais ce n’est pas un problème : la loi des grands nombres ne dit pas que les effectifs se rapprochent de l’idéal, mais les fréquences. Et elles, elles s’en rapprochent. Donc les effectifs s’éloigneront peut-être, mais les fréquences se rapprocheront.