Ensembles

Un ensemble est une collection d’éléments. Chaque ensemble contient donc un certain nombre d’éléments, qui peut être fini ou infini. Il peut aussi ne contenir aucun élément : on parle alors d’ensemble vide. On note en général un ensemble par une lettre majuscule, par exemple M, et ses éléments par une lettre minuscule m.

Qu’est-ce qu’un ensemble

La notion d’ensemble est l’une des notions fondamentales des mathématiques : une foule d’autres choses se définissent grâce à elle. Il est donc bon de bien comprendre dès le début ce qu’est un ensemble, pour ne pas t’y perdre par la suite.

Un ensemble est donc une collection d’éléments quelconques. En mathématiques, on travaille le plus souvent avec des ensembles de nombres, c’est-à-dire des ensembles dont les éléments sont des nombres. Voici l’écriture classique d’un ensemble :

$$M=\{1;2;3\}$$

Nous avons décrit un ensemble nommé « M », qui contient trois éléments : le un, le deux et le trois. On écrit toujours un ensemble entre accolades ; pratiquement chaque fois que tu vois des accolades, il s’agit d’un ensemble.

À quoi peuvent servir les ensembles ? Ils nous indiquent souvent quels éléments nous avons le droit de choisir. Dans la vie courante, tu pourrais dire par exemple : « Léa, on joue à un jeu, d’accord ? Pense à un nombre entre un et cinq. » Tu as ainsi délimité l’ensemble des nombres parmi lesquels Léa peut choisir. En mathématiques, on utiliserait un ensemble :

$$L=\{1;2;3;4;5\}$$

Et tu pourrais ensuite dire à Léa : « Léa, on joue à un jeu, d’accord ? Pense à un nombre qui appartient à l’ensemble L. » Le jeu serait tout de suite plus amusant. Pour écrire qu’un élément appartient à un ensemble, on utilise le symbole ∈, et quand il n’y appartient pas, le symbole ∉. Pour dire que 1 appartient à l’ensemble L mais que 7 n’y appartient pas, on écrirait : 1 ∈ L et 7 ∉ L.

Un ensemble peut bien sûr être vide. On l’écrit soit P = {}, soit plus simplement P = ∅. Attention : les deux écritures signifient « ensemble vide ». En revanche, si tu écris P = {∅}, tu écris un ensemble qui contient l’ensemble vide. Ce n’est pas la même chose que l’ensemble vide.

Ordre et répétitions

On ne dit pas que les éléments d’un ensemble sont rangés dans un certain ordre : un ensemble contient une collection d’éléments sans ordre. Si nous avons deux ensembles A = {1 ; 2 ; 3} et B = {3 ; 2 ; 1}, nous disons qu’ils sont égaux. L’ordre des éléments dans un ensemble n’a tout simplement aucune importance.

De même, les répétitions ne nous intéressent pas. Si un ensemble contient plusieurs fois le même élément (plusieurs fois le même nombre), on ne tient compte que d’une seule occurrence de cet élément. Là encore, si nous avons ces deux ensembles A = {1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2} et B = {2 ; 1}, nous les considérons comme égaux. Peu importe que l’ensemble A contienne « davantage » d’éléments, puisqu’il en contient certains deux ou trois fois : quand on calcule avec des ensembles, on élimine simplement ces répétitions.

Nombre d’éléments et égalité

Nous pouvons définir la notion de nombre d’éléments d’un ensemble : c’est le nombre d’éléments qu’il contient. Dans l’exemple précédent, avec A = {1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2} et B = {2 ; 1}, le nombre d’éléments de A est deux, mais celui de B aussi, car même en comptant les éléments d’un ensemble, les répétitions ne comptent pas. On le note entre barres verticales, |A|, ou Card(A) (cardinal de A) : |A| = |B| = 2.

Comme tu l’as sans doute compris, deux ensembles sont égaux lorsqu’ils ont les mêmes éléments. Quelques exemples :

$$\begin{array}{rcl}\{1;2;3\}& =& \{1;2;3\}\\ \{1;2;3\}& =& \{1;2;3;2;3;1\}\\ \{a;h;o;j\}& =& \{o;o;h;j;a;o\}\\ \{1;3;5;9\}& \ne & \{1;3;9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

Une propriété essentielle : un ensemble peut avoir pour élément un autre ensemble. Exemple : C = {1 ; 2 ; {3 ; 4 ; 5 ; 6}}. Il faut bien comprendre que l’ensemble C a trois éléments, et non six. L’ensemble C contient trois éléments : le un, le deux et un ensemble. Les nombres 3, 4, 5 et 6 sont éléments de l’ensemble intérieur, pas de l’ensemble C. On a donc |C| = 3. Un exemple plus compliqué :

$$D=\{0;\{1;\{2;3\}\};\left\{4\right\}\}$$

Combien d’éléments contient l’ensemble D ? Il en contient trois, les voici :

$$D_1=0,D_2=\{1;\{2;3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

Un ensemble peut être fini ou infini. Tous les ensembles que nous avons rencontrés jusqu’ici sont finis. L’ensemble de tous les nombres, par exemple, est infini.

Sous-ensemble

Prenons deux ensembles A = {1 ; 2} et B = {1 ; 2 ; 3}. Ces ensembles sont différents, car ils n’ont pas les mêmes éléments : l’ensemble B est plus grand. Pourtant, tu as sûrement remarqué que l’ensemble B contient exactement les mêmes éléments que l’ensemble A, avec en plus l’élément 3. On peut alors dire que A est un sous-ensemble de B, ou encore que A est inclus dans B.

Si A est un sous-ensemble de B, tous les éléments de l’ensemble A doivent aussi appartenir à l’ensemble B. Être un sous-ensemble est une relation, que l’on écrit avec le symbole ⊂. Définition formelle :

$$A\subset B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

On admet en général que les ensembles A et B peuvent être égaux, et l’on a alors tout de même A ⊂ B. Pour exprimer la version stricte de l’inclusion, on utilise un autre symbole : ⊊. Si A ⊊ B, l’ensemble B doit être plus grand (s’il est fini) : il doit contenir un élément que l’ensemble A ne contient pas. On dit alors que A est un sous-ensemble strict de B. Définition du sous-ensemble strict :

$$A⊊B\iff (A\subset B\wedge A\ne B)$$

La définition est la même que pour un sous-ensemble ordinaire, mais les deux ensembles ne doivent pas être égaux. Quelques exemples :

$$\begin{array}{rcl}\{a;h;o\}& \subset & \{a;h;o;j\}\\ \{a;h;o\}& ⊊& \{a;h;o;j\}\\ \{2;4;6\}& \subset & \{2;4;6;8;\dots \}\\ \{2;4;6\}& ⊊& \{2;4;6;8;\dots \}\\ \{1;2;3\}& \not\subset & \{1;3\}\\ \{1;2;3\}& ⊊̸& \{1;3\}\\ \{0;1\}& \subset & \{0;1\}\\ \{0;1\}& ⊊̸& \{0;1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& ⊊& \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& ⊊& \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& ⊊̸& \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ;△;\odot ;‡;\wr \}& \subset & \{\diamond ;△;\odot ;‡;\wr ;\star ;\bullet ;\mp \}\\ \{\diamond ;△;\odot ;‡;\wr \}& ⊊& \{\diamond ;△;\odot ;‡;\wr ;\star ;\bullet ;\mp \}\end{array}$$

Propriétés de l’inclusion :

• A ⊂ A : un ensemble est toujours un sous-ensemble de lui-même.
• A ⊄ neq A : un ensemble n’est jamais un sous-ensemble strict de lui-même.
• ∅ ⊂ A : l’ensemble vide est un sous-ensemble de n’importe quel ensemble.
• A ⊄ neq ∅ : l’ensemble vide n’a aucun sous-ensemble strict.

Grâce aux sous-ensembles, on peut écrire l’égalité de deux ensembles :

$$A=B\iff A\subset B\wedge B\subset A$$

Si les deux ensembles sont égaux, chacun est un sous-ensemble de l’autre.

Ensemble des parties

L’ensemble des parties d’un ensemble donné est l’ensemble de tous ses sous-ensembles. On le note en général $\mathcal{P}(M)$ ou 2^M.

Exemple : M = {1 ; 2 ; 3}. Quels sont tous ses sous-ensembles ? Il y a certainement l’ensemble vide et l’ensemble M lui-même. Ensuite : {1}, {2}, {3}, {1 ; 2}, {1 ; 3}, {2 ; 3}. Tous ces ensembles forment l’ensemble des parties de M. On écrit : $\mathcal{P}(M)=\{\mathrm{\varnothing };M;\left\{1\right\};\left\{2\right\};\left\{3\right\};\{1;2\};\{1;3\};\{2;3\}\}$.

Comme l’ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble et que M est toujours un sous-ensemble de M, on a toujours $\mathrm{\varnothing }\in \mathcal{P}(M)$ et $M\in \mathcal{P}(M)$.

Comment écrire un ensemble

Nous avons déjà vu une première façon : lister simplement les éléments, entre accolades. M = {1 ; 2 ; 3} ou N = {a ; b ; c ; d}, etc. Pour écrire un ensemble infini, on peut utiliser trois points, lorsqu’il est évident comment la liste des éléments continue : M = {1 ; 2 ; 3 ; …}

La principale façon d’écrire un ensemble est de donner une propriété caractéristique (définition par compréhension). En général, l’écriture ressemble à ceci : {x ∈ X | P(x)}, où X est l’ensemble dans lequel on choisit les éléments et P(x) une formule qui précise les éléments de l’ensemble. On peut écrire la formule en symboles mathématiques ou en mots. À la place de « | », on utilise aussi parfois les deux-points : « :« .

Par exemple : « soit l’ensemble M formé de tous les nombres qui désignent un jour du mois ». Un mois compte au plus 31 jours, donc cet ensemble aurait 31 éléments, de 1 à 31. On pourrait l’écrire avec des points de suspension : M = {1 ; 2 ; 3 ; … ; 30 ; 31}. Une autre écriture du même ensemble serait : {x ∈ ℤ | x désigne un jour du mois}, où ℤ désigne l’ensemble des entiers relatifs.

Un exemple plus mathématique : « soit l’ensemble P formé de tous les nombres strictement positifs divisibles par cinq ». L’ensemble ressemblerait à ceci : P = {5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; …}

Essayons d’écrire en langage mathématique l’ensemble T des entiers naturels non nuls inférieurs à dix : T = {x ∈ ℕ^* | x<10}. Cette écriture nous dit : l’ensemble T est formé des éléments x que nous prenons dans l’ensemble des entiers naturels non nuls et qui vérifient la condition d’être inférieurs à 10. Regardons donc les entiers naturels non nuls et gardons seulement ceux qui sont inférieurs à dix : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}. Et voilà tout.

Un autre exemple : Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Nous avons défini l’ensemble Y formé des éléments x que nous prenons parmi les entiers relatifs, et la seule condition que x doit vérifier est de ne pas être nul. L’ensemble Y contient donc tous les entiers relatifs sauf zéro.

Encore un exemple : G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. L’ensemble G est formé des éléments x que nous prenons parmi les nombres réels, et pour chaque élément x, il faut que le multiplier par lui-même redonne le nombre x. Essayons par exemple le nombre 5. D’après la définition, l’égalité suivante doit être vraie : 5 · 5 = 5. Ce n’est visiblement pas le cas, donc 5 n’est pas un élément de l’ensemble G. Essayons un : 1 · 1 = 1. C’est vrai, donc un est un élément de l’ensemble G. Le deuxième et dernier élément sera le nombre zéro. Aucun autre nombre ne convient. On peut donc écrire : G = {0 ; 1}.

Et un dernier exemple, plus compliqué, pour que tu voies que la propriété caractéristique peut elle aussi être compliquée :

$$X=\{x\in \mathbb{R}|(x^2=2x)\vee (\sin (x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

En pratique, un ensemble est le plus souvent défini par une propriété caractéristique, et l’on peut dire qu’une bonne part des notions mathématiques se définissent à l’aide d’ensembles. Prenons par exemple un intervalle : l’intervalle ]a ; b[ est l’ensemble I qui vérifie :

$$I=\{x\in \mathbb{R}|(x>a)\wedge (x<b)\}$$

Ce sont tous les éléments de l’ensemble des nombres réels qui sont plus grands que a et plus petits que b, ce qui est exactement ce qu’exprime l’intervalle.

Pour aller plus loin

• Wikipédia