Nombres réels
Les nombres réels sont tous les nombres que l’on peut écrire avec un développement décimal fini ou infini. On peut dire que l’on obtient les nombres réels en faisant la réunion de l’ensemble des nombres rationnels et de celui des nombres irrationnels.
Notation et signification
On note les nombres réels avec la lettre R, généralement avec une barre verticale doublée : ℝ.
Si tu imagines une droite numérique infinie, les nombres réels représentent toutes les distances possibles entre deux points que l’on peut trouver sur la droite.
Les nombres réels contiennent tous les entiers naturels, les entiers relatifs, les nombres rationnels et les nombres irrationnels.
La plupart des fonctions avec lesquelles on travaille couramment en mathématiques ont pour ensemble de définition l’ensemble des nombres réels (par exemple le sinus et le cosinus, les fonctions affines) ou bien une de ses parties d’un seul tenant, c’est-à-dire un intervalle (par exemple le logarithme).
Exemples de nombres réels : 1, −3, 0,126, −42,47, e, 0, −2π.
Propriétés
- L’ensemble des nombres réels est un ensemble infini non dénombrable.
- Les nombres réels sont stables par addition, soustraction, multiplication et division (par un nombre non nul). Si l’on prend deux nombres réels et qu’on les multiplie, on obtient encore un nombre réel.
- Un nombre réel est soit algébrique, c’est-à-dire racine d’un polynôme à coefficients entiers, soit transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est racine d’aucun polynôme de ce type.
- À tout nombre réel est associée sa valeur absolue, qui représente la distance à l’origine de la droite numérique.
- Tout nombre réel positif ou nul a une racine carrée, qui est elle aussi un nombre réel. En revanche, aucun nombre réel strictement négatif n’a de racine carrée réelle.
