Mise en facteur

Avant de nous lancer dans la mise en facteur, nous allons d'abord voir le développement des parenthèses, car les deux sont très liés. On pourrait même dire que la mise en facteur est l'opération inverse du développement d'une parenthèse.

Développer une parenthèse

Développer une parenthèse est une opération simple, que nous allons illustrer par un exemple : calculons l'expression 3 · (5 + 8). Nous avons deux façons de procéder. On peut additionner ce qui se trouve dans la parenthèse, et l'on obtient 3 · 13, car 5 + 8 = 13.

La seconde méthode consiste à développer la parenthèse. Cela signifie que l'on prend le nombre placé devant la parenthèse, ici le trois, et qu'on le multiplie par chacun des nombres qui se trouvent à l'intérieur. Le signe plus de la parenthèse reste. On obtient ainsi :

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Les deux méthodes conduisent au même résultat : (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Pourquoi le développement fonctionne

Pourquoi peut-on se permettre cette méthode ? Voyons un produit comme une somme développée. Si nous écrivons 3 · 7, cela signifie que nous voulons additionner trois fois le nombre sept, soit 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

De même, 3 · (5 + 8) est la même chose que (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Comme l'ordre n'a pas d'importance dans une addition, on peut supprimer les parenthèses et regrouper les cinq et les huit ainsi : 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. On voit alors que cette expression peut s'écrire à l'aide d'une multiplication : 3 · 5 + 3 · 8, ce que nous avons fait lors du développement.

Exemples de développement

1. Développe 5 · (4 + 7). Là encore, on multiplie par cinq les nombres de la parenthèse : 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Développe 6 · (x + 4). Ne nous effrayons pas de l'inconnue : multiplions-la simplement aussi par six. On obtient : 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Développe x · (4 + 173). Cette fois, l'inconnue est placée devant la parenthèse, donc on multiplie par x les deux nombres à l'intérieur. On obtient x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Développe 4x · (2x + 7). Cette fois, l'inconnue apparaît à la fois devant la parenthèse et à l'intérieur, mais le facteur placé devant la parenthèse est plus compliqué. Cela ne pose pas de problème : on multiplie le contenu de la parenthèse par 4x, ce qui donne 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Mise en facteur simple

La mise en facteur est l'opération inverse du développement d'une parenthèse. Prenons par exemple l'expression 10x + 5. Si l'on trouve un nombre par lequel on peut raisonnablement diviser les deux termes, on peut le mettre en facteur. Dans notre expression, ce nombre est 5, car 10x / 5 = 2x et 5 / 5 = 1. On peut donc écrire que

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Si l'on développe à nouveau la parenthèse 5 · (2x + 1), on retrouve 10x + 5. Le but de la mise en facteur est en général de simplifier l'expression donnée ou de la mettre sous forme de produit, afin de pouvoir la simplifier dans une fraction.

Mise en facteur de l'inconnue

On met souvent en facteur l'inconnue elle-même, et pas seulement un nombre. Ainsi, pour l'expression 3x² + 7x, on peut mettre x en facteur : on divise les deux termes par x, on ajoute les parenthèses et l'on multiplie la parenthèse par x. On obtient 3x² + 7x = x · (3x + 7).

On essaie en général de mettre en facteur le plus de choses possible. Pour l'expression 8x² + 12x, on peut ne mettre en facteur que x et obtenir 8x² + 12x = x · (8x + 12), mais on voit qu'on peut encore mettre en facteur le nombre 4 à l'intérieur de la parenthèse. On obtient alors : x · (4 · (2x + 3)). On peut supprimer les parenthèses extérieures et écrire : 4x · (2x + 3).

On aurait toutefois obtenu le même résultat en mettant directement 4x en facteur dans l'expression initiale 8x² + 12x. En détaillant le calcul, on obtient

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Mise en facteur d'expressions plus complexes

Jusqu'ici, nous n'avons mis en facteur que des expressions à deux termes. On peut aussi mettre en facteur dans des expressions plus longues. Par exemple, dans 7x³ + 5x² + 2x, on peut mettre x en facteur et obtenir x · (7x² + 5x + 2).

On n'est pas non plus obligé de toujours mettre en facteur un joli nombre : on peut mettre en facteur n'importe quelle expression. Par exemple, dans l'expression 6x + 7, on peut mettre en facteur le nombre 2, mais le résultat sera peu élégant, car il faut diviser les deux termes par deux. Pour 6x, cela ne pose pas de problème, car 6x / 2 = 3x ; en revanche, pour le nombre 7, le résultat n'est pas joli : 7 / 2 = 3,5. On obtient ainsi : 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Exercices corrigés

• Mets en facteur de façon élégante 25x + 45. Il apparaît au premier coup d'œil qu'on peut mettre en facteur le nombre 5, ce qui donne 5 · (5x + 9).

• Simplifie la fraction

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Commence par mettre x en facteur au numérateur. On obtient ainsi x · (3x + 7) au numérateur. On peut alors simplifier x dans toute la fraction.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Mets en facteur de façon élégante −2x² − 8x. Ici, on rencontre pour la première fois des nombres négatifs. Ce n'est pas gênant : de même que l'on pouvait mettre en facteur des nombres positifs, on peut mettre en facteur des nombres négatifs. On peut donc mettre en facteur d'un coup −2x. On obtient

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$