Équation du premier degré

Une équation du premier degré est une équation que l’on peut transformer sous la forme ax + b = 0, où a ≠ 0. Un exemple concret pourrait être le suivant : 2x + 4 = 0. La solution de cette équation est le nombre −2, ce qui se devine assez facilement par la logique. Si les nombres étaient un peu plus grands, cette déduction ne serait plus aussi simple, et il faudrait une méthode plus précise.

Forme réduite d’une équation du premier degré

Plus précisément, il s’agit d’une équation à une inconnue x, que l’on peut ramener à la forme ax + b = 0, où a ≠ 0, à l’aide de transformations équivalentes. L’inconnue n’y est ni élevée à une puissance, ni placée sous une racine, etc. Une équation dont l’inconnue se trouve au dénominateur d’une fraction ne peut être ramenée à cette forme qu’à condition que le dénominateur ne soit pas nul. C’est pourquoi on les traite séparément, voir équation du premier degré avec l’inconnue au dénominateur. Observe ces différents exemples d’équations du premier degré :

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Comme tu le vois, une équation du premier degré peut prendre les formes les plus diverses. Pour la résoudre facilement, il faut d’abord la ramener à une forme unique, appelée forme réduite :

$$ax+b=0,$$

où x est l’inconnue et les symboles a et b sont des nombres réels quelconques, appelés coefficients de l’équation. Le nombre a doit en outre être non nul, c’est-à-dire a ≠ 0. L’expression ax s’appelle le terme du premier degré, et l’expression b le terme constant.

Pour résoudre une équation du premier degré, on ne peut pas se passer des transformations équivalentes, c’est-à-dire de transformations qui ne changent pas les solutions de l’équation. Sans elles, les équations plus compliquées ne peuvent pas être résolues. On peut ramener l’équation à la forme réduite soit en modifiant les expressions qui y figurent, soit justement par des transformations équivalentes de l’équation.

Revenons aux exemples ci-dessus. La première équation, 2x + 7 = 0, a déjà la forme réduite : on lit directement les coefficients a = 2 et b = 7. Pour la deuxième équation, x − 2 = 74, ce n’est pas aussi simple. En appliquant une transformation équivalente, on ajoute le nombre −74 aux deux membres (autrement dit, on soustrait 74 des deux membres) et on obtient x − 76 = 0. C’est maintenant la forme réduite, avec les coefficients a = 1 et b = −76.

La troisième équation est encore loin de la forme réduite, mais nous allons y arriver. D’abord, « fabriquons » un zéro à droite : ajoutons l’expression 12x aux deux membres. Le membre de droite devient ainsi nul, car (−12x) + 12x = 0. L’équation s’écrit alors :

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Il ne reste plus qu’à supprimer les parenthèses et à additionner les termes en x.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Cette équation du premier degré est maintenant sous forme réduite, avec les coefficients a = −8 et b = 3.

Dans la dernière équation, il faut se débarrasser des fractions. On multiplie donc toute l’équation par 72, nombre divisible par tous les dénominateurs :

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

On simplifie maintenant les fractions :

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

On additionne à gauche et on multiplie à droite :

$$39x=405x+72$$

Il reste une dernière étape : on soustrait 405x et 72 des deux membres, et l’équation est sous forme réduite :

$$-366x-72=0$$

On obtient donc les coefficients a = −366 et b = −72.

Comment résoudre une équation du premier degré

Une équation du premier degré sous forme réduite se résout facilement. Voyons-le sur l’exemple 3x − 18 = 0. De quoi faut-il soustraire 18 pour obtenir zéro ? Eh bien, encore de 18. Ainsi, pour que l’expression 3x − 18 soit égale à zéro, il faut que l’expression 3x soit égale à 18, on obtient alors 18 − 18 = 0. Quand l’expression 3x est-elle égale à 18 ? Précisément lorsque x = 6, car 3 · 6 = 18.

Comment en déduire une méthode générale ? D’abord, il faut déterminer à quoi doit être égal le terme du premier degré ax. Pour cela, on fait passer le terme constant dans le membre de droite, c’est-à-dire qu’on ajoute −b aux deux membres. On obtient ainsi ax + b − b = −b, ce qui revient à ax = −b. Dans l’exemple précédent, on aurait donc 3x − 18 + 18 = 18, soit 3x = 18. N’oublie pas que le nombre b valait b = −18 ; ainsi, lorsque nous ajoutons −b, nous ajoutons −(−18), ce qui vaut +18.

On a donc l’équation sous la forme ax = −b. Comment obtient-on directement x ? Dans l’exemple, nous cherchions le nombre x qui, multiplié par trois, donne 18. Qu’avons-nous fait en réalité ? Nous avons calculé 18/3 = 6. Nous avons donc pris l’expression du membre de droite (−b) et nous l’avons divisée par a, ici par trois. Ainsi, de ax = −b on obtient

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

La démarche complète, appliquée au premier exemple :

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Signification géométrique

Si l’on ramène une équation du premier degré à la forme réduite, on obtient à gauche une fonction affine. Le graphe d’une fonction affine est une droite. Comme la forme réduite d’une équation du premier degré s’écrit ax + b = 0, les solutions de cette équation sont tous les points où la droite (le graphe de la fonction affine) coupe l’axe des abscisses, qui est aussi le graphe de la fonction f(x) = 0, c’est-à-dire du membre de droite.

Par exemple, nous avons trouvé que la solution de l’équation 3x − 18 = 0 est x = 6. Qu’est-ce que cela signifie ? Que le graphe de la fonction 3x − 18 coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse x = 6.

Essayons de résoudre graphiquement l’équation 5x + 2 = 2x − 7. Comment procéder ? On peut ramener l’équation à la forme réduite : on ajoute −2x, ce qui donne 3x + 2 = −7, puis on ajoute 7 : 3x + 9 = 0. Traçons maintenant le graphe de la fonction affine y = 3x + 9 et regardons où il coupe l’axe des abscisses.

La seconde méthode consiste à ne pas du tout transformer l’équation, mais à tracer les graphes des fonctions situées de part et d’autre du signe égal. Autrement dit, on trace les graphes des fonctions f(x) = 5x + 2 et g(x) = 2x − 7.

Ces deux droites se coupent en un point, noté A. Quelle est l’abscisse de ce point A ? Encore x = −3. La solution graphique de l’équation 5x + 2 = 2x − 7 est donc l’abscisse du point d’intersection des graphes des fonctions situées à gauche et à droite du signe égal.

Exemples résolus

Premier exemple : Essayons de résoudre l’équation 7x − 14 = 0. La situation est simple : l’équation est déjà sous forme réduite, il suffit donc d’appliquer la méthode :

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

Deuxième exemple : Résous l’équation 2x + 10 = 0. Elle est là encore sous forme réduite, mais fais attention au fait que b est positif : après la transformation, tu obtiens un nombre négatif à droite :

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Troisième exemple : Résous l’équation 15 − 3x = 0. Elle est presque sous forme réduite : il suffit de placer l’inconnue x en premier. On obtient alors la forme −3x + 15 = 0. Attention, ici le terme du premier degré est précédé d’un signe moins, ce que nous n’avions pas encore rencontré. Les transformations seront pourtant exactement les mêmes :

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

On peut aussi résoudre cet exemple d’une autre manière, par un chemin un peu plus long. Au lieu de diviser directement l’équation par −3, on peut d’abord la multiplier par −1, ce qui permet de se débarrasser des deux signes moins. Ensuite, on peut diviser par trois :

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Quatrième exemple : Résous l’équation du premier degré

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Cette équation est un peu plus compliquée, car elle contient des fractions. Il faut d’abord s’en débarrasser. Le mieux est de multiplier toute l’équation par le plus petit commun multiple de tous les dénominateurs. Nous avons deux dénominateurs, 4 et 2 ; le plus petit commun multiple est 4. Si tu ne veux pas le calculer, tu peux multiplier toute l’équation par le produit de tous les dénominateurs, soit 4 · 2 = 8, mais ce n’est pas la méthode recommandée, car cela te complique la tâche d’une étape supplémentaire. Si nous multiplions par quatre, nous nous débarrassons des fractions en les simplifiant une à une :

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

On ramène maintenant l’équation à la forme réduite : x − 12 = 0, et on voit directement que x = 12.

Cinquième exemple / problème concret : Prenons deux frères, Lucas et Hugo. Hugo est entré dans la vie active juste après le lycée, tandis que Lucas est allé à l’université, où il a étudié pendant cinq ans. Hugo touchait chaque mois un salaire de 1 000 €. Bien que Lucas ait obtenu un diplôme de « loisirologie » avec une spécialisation en « farniente sur transat », il a réussi à décrocher un poste dans la fonction publique, où il gagne 1 400 € par mois. Au bout de combien de temps Lucas aura-t-il gagné au total autant d’argent que Hugo ? Pour préciser : au bout de cinq ans, Hugo a gagné 5 · 12 · 1 000 euros, tandis que Lucas en est encore à zéro. Au bout de combien de mois ces deux montants seront-ils égaux ?

À partir de l’énoncé, on peut construire une équation du premier degré ainsi : la variable x représente le nombre de mois recherché, x = 0 correspondant à zéro mois écoulé depuis la fin des études de Lucas.

On commence par établir une fonction qui donne le revenu de Lucas en fonction du nombre de mois. Par exemple, si l’on s’intéresse à son revenu après six mois, on calcule simplement : 1 400 · 6 = 8 400 euros. De manière générale, après x mois, Lucas a gagné au total 1 400 · x euros.

Pour Hugo, le calcul est semblable : 1 000 · x, mais il faut encore ajouter le montant qu’il a gagné pendant les études de Lucas. Lucas a étudié pendant cinq ans, donc Hugo a gagné pendant cette période 5 · 12 · 1 000 euros. La formule complète pour Hugo est donc : 5 · 12 · 1 000 + 1 000 · x.

On pose ces expressions égales, car on cherche les valeurs de x pour lesquelles les deux revenus sont égaux :

$$5\cdot 12\cdot 1000+1000\cdot x=1400\cdot x$$

On simplifie l’équation en regroupant tous les x d’un même côté :

$$400x=5\cdot 12\cdot 1000$$

Il ne reste plus qu’à diviser par 400 :

$$x=5\cdot 12\cdot 2,5=150$$

Au bout de 150 mois, Lucas et Hugo auront donc gagné exactement la même somme. Pendant les études de Lucas, Hugo a gagné 5 · 12 · 1 000 = 60 000 euros, puis, pendant 150 mois supplémentaires, 1 000 · 150 = 150 000 euros, soit au total 60 000 + 150 000 = 210 000 euros. Lucas n’a travaillé que pendant ces 150 mois, et il a gagné pendant cette période 1 400 · 150 = 210 000 euros. On voit bien qu’après les cinq ans d’études et les 150 mois suivants, ils ont effectivement gagné exactement la même somme.

Autres exemples

Résous l’équation du premier degré suivante :

$$2\cdot (x-7)=6$$

Commençons par développer la parenthèse :

$$2x-14=6$$

Maintenant, on garde à gauche l’expression contenant l’inconnue et on fait passer tout le reste à droite :

$$2x=20$$

… et enfin on divise par deux.

$$x=10$$

Résous l’équation :

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Commençons encore par développer les parenthèses :

$$9-3x+5x-10=0$$

On additionne ce qui peut l’être, on fait passer les termes en x à gauche et le reste à droite :

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Enfin, on divise toute l’équation par deux :

$$x=\frac{1}{2}$$