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Distributivité

La distributivité est une propriété de deux opérations binaires, par exemple l’addition et la multiplication. Dans le cas de la multiplication et de l’addition, la distributivité nous dit que l’on peut « développer la parenthèse ». Par exemple, avec l’expression

2⋅(3+4)

on sait que l’on peut développer la parenthèse, ce qui donne une autre expression

2⋅(3+4)=2⋅3+2⋅4

Les deux expressions mènent au même résultat, le nombre 14. Nous avons pu faire ce développement parce que la multiplication est distributive par rapport à l’addition sur l’ensemble des nombres réels. En général, si l’on a deux opérations · et +, on dit que l’opération · est distributive par rapport à l’opération + sur l’ensemble M si

a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)(b+c)⋅a=(b⋅a)+(c⋅a)

pour tous a, b, c ∈ M. Un autre exemple d’opérations distributives est donné par les opérations de la logique propositionnelle, la conjonction ∧ et la disjonction ∨. Imaginons que nous ayons des propositions A, B et C. Si l’on dit « A et (B ou C) », on l’écrit

A∧(B∨C)

Et comme la conjonction est distributive par rapport à la disjonction, on a en même temps

(A∧B)∨(A∧C)

C’est-à-dire, en mots : « (A et B) ou (A et C) ». Pour avoir aussi un exemple d’opérations qui ne sont pas distributives, prenons par exemple l’addition et la soustraction :

10−(5+3)

Le bon résultat est évidemment 2, car après avoir calculé la parenthèse, on obtient 10 − 8, c’est-à-dire 2. Si l’on appliquait à ce calcul la règle de distributivité, on obtiendrait l’expression :

(10−5)+(10−3)

Après avoir calculé les parenthèses, on aurait 5 + 7, c’est-à-dire 12. On voit que nous avons obtenu un mauvais résultat : l’addition et la soustraction ne sont donc pas distributives.

Autres exemples : certaines opérations sur les matrices vérifient la loi de distributivité. Les vecteurs d’un espace vectoriel aussi. Les opérations d’un corps doivent être distributives.

Chapitres: Commutativité, Associativité, Distributivité