Egyenletrendszerek
A gyakorlatban gyakran előfordul, hogy nem egy egyenletet oldunk meg, hanem rögtön kettőt egyszerre (vagy még többet). Először megmutatjuk, hogyan oldhatunk meg ilyen egyenletrendszert a behelyettesítő módszerrel. Az egyenletrendszerek mátrixokkal való megoldásához lépj tovább a lineáris egyenletrendszerek cikkre.
Alapok
Az egyenletrendszer több egyenletet jelent, amelyeket együtt oldunk meg. Az egyenletrendszerben rendszerint egynél több változó is van, és olyan számokat próbálunk találni, amelyeket ha behelyettesítünk az összes változó helyére, akkor az összes egyenlet igaz lesz.
Az egyenletrendszerre példa a következő:
Ennek az egyenletrendszernek az eredménye egy számpár (vagy számpárok halmaza) kell, hogy legyen, amelyet behelyettesítünk az a és a b változó helyére, és mindkét egyenlet igaz marad. Úgy nagyjából szemre látjuk, hogy az a változónak a −b számmal kell egyenlőnek lennie, hogy az a + b = 0 egyenlet teljesüljön. Ha ezt tudjuk, a második egyenletből könnyen látjuk, hogy a = 10 és b = −10. A behelyettesítés után ezt kapjuk:
Szóval a szemre megoldással megvolnánk, most nekilátunk néhány működő algoritmusnak az egyenletrendszerek megoldására.
Behelyettesítő módszer
A behelyettesítő módszerben az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent, és az eredményt aztán behelyettesítjük a másik egyenletbe. Az elejére tehát szükségünk lesz valamilyen egyenletrendszerre. Mondjuk erre:
Ez két egyenletből álló, kétismeretlenes egyenletrendszer. Az a feladatunk, hogy meghatározzuk az x és az y változót úgy, hogy mindkét egyenlet igaz legyen. Az első egyenletből kifejezzük az y-t. Vegyük tehát csak az első egyenletet, és fejezzük ki belőle az y-t.
Először kivonjuk a 4x tagot:
Elosztjuk kettővel:
Most már tudjuk, mivel egyenlő az y. Ezt az eredményt behelyettesíthetjük a második egyenletben az y változó helyére. A második egyenletben tehát az y helyére a 3 − 2x kifejezést írjuk. Mit érünk el ezzel? Azt, hogy a második egyenletben nem két változó lesz, hanem csak egy, mert az y változó helyére olyan kifejezést írtunk, amely csak az x változót tartalmazza. Behelyettesítünk tehát:
Most csak felbontjuk a zárójelet, és összevonunk, amit lehet:
Most már ismerjük az x értékét, amely kettővel egyenlő. Már csak az y értékét kell kiszámítanunk. Ezt úgy tesszük, hogy a már ismert x értéket behelyettesítjük valamelyik olyan egyenletbe, amelyben mindkét változó szerepel – az x is és az y is. Választhatjuk például akár a legelső egyenletet. Így helyettesítünk be:
Ezzel megoldottuk az egyenletrendszert. Az egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, mégpedig x = 2 és y = −1. Ha ellenőrizni akarod az eredményt, egyszerűen helyettesíts be mindkét egyenletbe. Tehát a behelyettesítés az első egyenletbe:
És a behelyettesítés a második egyenletbe:
Egyenlő együtthatók módszere
Ezt a módszert jobban szeretem, de persze a konkrét példától függ. Nem mindig alkalmas. Az egyenlő együtthatók módszerének az az elve, hogy az egyenletek összeadása az egyenletrendszerek megoldásakor ekvivalens átalakítás. Az egyenletek összeadását úgy végezzük, hogy összeadjuk az egyik egyenlet bal oldalát a másik egyenlet bal oldalával, aztán összeadjuk az egyenletek jobb oldalát. Legyen általánosan ilyen egyenletrendszerünk:
Ezeknek az egyenleteknek az összegeként egyetlen egyenletet kapnánk, amelyet így definiálunk:
Külön összeadtuk a bal oldalakat és külön a jobb oldalakat. Mi lesz azonban a célunk? Ha összeadunk két egyenletet, és két változó marad, azzal sokat nem segítünk magunkon. Ezért arra törekszünk, hogy a két egyenlet összeadása után az egyik változó eltűnjön, vagyis a tagjai kiejtsék, semlegesítsék egymást. Arra törekszünk tehát, hogy a függvénypárok egyikének, vagy az f, vagy a g függvényeknek az összege nulla legyen:
Hogyan érjük ezt el? Az egyenletrendszer közönséges egyenleteket tartalmaz, amelyekre alkalmazhatjuk az egyenletek ekvivalens átalakításait, úgy, ahogy a közönséges egyenlettípusokból ismerjük. Ezért valamelyik egyenletet megszorozhatjuk valamilyen számmal, és az egyenlet érvényessége nem változik. Próbáljuk meg tehát az előző egyenletrendszert az egyenlő együtthatók módszerével megoldani. A feladat tehát ugyanaz:
Ha az egyenleteket rögtön összeadnánk, mindkét változó megmaradna:
Ezért először végre kell hajtanunk néhány átalakítást. Az y változót próbáljuk „eltüntetni”. Ehhez az kell, hogy az y előtti együttható mindkét egyenletben egyenlő legyen, csak az előjele legyen ellentétes. Keressük tehát a legkisebb közös többszöröst, ami a 6. Egyszerű eljárás, hogy az együtthatókat összeszorozzuk: kétszer három az hat – a hat szám tehát biztosan osztható mindkét számmal (megjegyzés: ez az eljárás nem biztosítja a legkisebb közös többszöröst, de olyan számot talál, amely mindkét együtthatóval osztható).
Most tehát azt akarjuk elérni, hogy az y előtt mindkét egyenletben hatos álljon. Az első egyenletet ezért megszorozzuk hárommal, a másodikat kettővel:
Ezt kapjuk:
Most összeadjuk az egyenleteket:
Így egy egyismeretlenes egyenletet kaptunk, amelyet már könnyen meg tudunk oldani:
Látjuk, hogy ugyanaz az eredmény jött ki, mint az előző, behelyettesítő módszerrel. Most már csak ismét behelyettesítenénk az x értékét valamelyik egyenletbe, és megkapnánk az y = −1 eredményt. Az ellenőrzés is teljesen ugyanúgy zajlana.
A megoldások száma
Az egyenletrendszernek nem kell feltétlenül pontosan egy megoldással rendelkeznie. Lehet végtelen sok megoldása, vagy éppen egy sem. Röviden arról, mikor áll ez elő. Ha van két kétismeretlenes egyenletünk, és az egyik egyenletet ki tudjuk fejezni a másikkal úgy, hogy valamilyen ekvivalens átalakítást alkalmazunk rá, akkor az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. Példa erre a következő egyenletrendszer:
Látjuk, hogy ha az első egyenletet megszorozzuk kettővel, pontosan a második egyenletet kapjuk. A második egyenlet tehát semmilyen „új információt” nem ad az egyenletrendszerről, így gyakorlatilag felesleges. Összességében ez azt jelenti, hogy az
egyenlet bármelyik megoldása egyúttal az egész egyenletrendszer megoldása is. Például az (1; 1) vagy a (−3; 5) számpár megoldása az első egyenletnek, és egyúttal az egész egyenletrendszernek is.
Az egyenletrendszernek akkor nincs egyetlen megoldása sem, ha az egyenletrendszerben ellentmondó egyenletek vannak, amelyek nem teljesülhetnek egyszerre. Például:
Nem lehet, hogy az x + y összeg egyszerre egyenlő legyen kettővel és néggyel, ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása. Még néhány példa:
Első példa
Oldd meg a következő, két egyenletből álló, kétismeretlenes egyenletrendszert:
Az egyenletrendszerre vetett futó pillantásból látjuk, hogy jó jelölt az egyenlő együtthatók módszerére. Az x együtthatója a második egyenletben kétszer akkora, mint az elsőben, az y együtthatója pedig a második egyenletben háromszor akkora. Elég tehát az első egyenletet megszorozni mínusz kettővel vagy mínusz hárommal, és összeadni az egyenleteket. Próbáljuk meg például az x változót kiejteni, ezért az első egyenletet megszorozzuk a −2 számmal. Ezt kapjuk:
Összeadjuk ezt a két egyenletet, és ezt kapjuk:
Megvan az egyenletrendszerünk első eredménye. Ezt az eredményt behelyettesítjük valamelyik egyenletbe, behelyettesíthetjük megint akár a legelső egyenletbe:
Megvan tehát az egyenletrendszer eredménye: x = 9 és y = −14.
Második példa
Oldd meg a következő, két egyenletből álló, kétismeretlenes egyenletrendszert:
Ez kicsit vadul néz ki, de menni fog. Mindenekelőtt fel kell bontanunk a zárójeleket, enélkül nem jutunk sokra.
Most használhatóbb alakra hozzuk az egyenleteket: a változókat átvisszük az egyenlet bal oldalára, a konstans tagokat a jobb oldalra, aztán összevonunk, amit lehet.
Ezekből a csúnyán kinéző egyenletekből most már elég használható egyenletrendszert kaptunk, és alkalmazhatjuk valamelyik klasszikus eljárást. Megszorozhatjuk például a második egyenletet kettővel, és összeadhatjuk az elsővel. A második egyenlet kettővel való szorzása után ezt kapjuk:
Most összeadjuk mindkét egyenletet a klasszikus módszerrel:
Kiváló, az egyik eredményt már ismerjük. Ezt az eredményt behelyettesítjük valamelyik egyenletbe, és kiszámítjuk az y-t. Behelyettesíthetünk például a 2x− 3y = −13 egyenletbe, és ezt kapjuk:
Most már megvan az egyenletrendszer teljes eredménye – akkor van megoldása, ha x = 4 és y = 7.
