Egyenletes és normális gyakorisági eloszlás

Két tipikus gyakorisági eloszlás létezik, amelyekkel a gyakorlatban is gyakran találkozhatunk. Ezek az egyenletes gyakorisági eloszlás és a normális gyakorisági eloszlás.

Egyenletes gyakorisági eloszlás

Az egyenletes eloszlás azt jelenti, hogy az adathalmazunkban minden érték egyformán gyakran fordul elő. Megszámolhatjuk például, hány hónapja volt a 2000, 2001, …, 2009 éveknek:

Ha egy klasszikus, idealizált kockával dobunk, akkor $\frac{1}{6}$ a valószínűsége annak, hogy 1-est dobunk, $\frac{1}{6}$ annak, hogy 2-est dobunk, és így tovább. Egyenletes valószínűség-eloszlásról beszélünk, mert minden eredménynek ugyanakkora a valószínűsége.

Egyenetlen eloszlás akkor lenne, ha cinkelt kockánk lenne, amelyen $\frac{1}{3}$ valószínűséggel mindig hatos esne. A többi oldal valószínűsége már nem lehet szintén $\frac{1}{3}$. Hasonlóképpen megszámolhatnánk az egyes hónapokban a napok számát – nem minden hónapnak ugyanannyi napja van, ezért ez nem egyenletes gyakorisági eloszlás lenne.

Normális valószínűség-eloszlás

A normális eloszlást néha Gauss-eloszlásnak is nevezik. Csak folytonos valószínűségi változóknál használjuk. A standardizált normális eloszlás alakja ilyen:

Ezt a görbét az ún. Gauss-függvény írja le, amelynek alakja:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

A függvény meglehetősen bonyolult, nem kell megjegyezned. Látjuk viszont, hogy a normális eloszlást az átlaggal és a szórással/szórásnégyzettel paraméterezhetjük. Az átlag és a szórás különböző értékeire különböző grafikonokat kaphatunk:

A normális eloszlás azért fontos, mert meglehetősen hűen közelíti a különféle eloszlásokat, amelyekkel a valóságban találkozhatunk. Látjuk, hogy a görbének mindig egy globális maximuma van, éppen az átlagérték pontjában. A piros görbének például az X = 0 pontban van maximuma, ennek a mennyiségnek az átlagértéke tehát nulla. A görbe szimmetrikus, tengelyesen szimmetrikus arra az egyenesre, amely merőleges az X tengelyre, és átmegy az átlagon, vagyis az X = 0 ponton. Más szóval – a görbe a nullától balra ugyanúgy néz ki, mint a nullától jobbra. A zöld görbének ugyanezek a tulajdonságai, csak nem a nullával, hanem az X = −2 ponttal.

A normális eloszlás hűen írhatja le az emberek intelligenciájának vagy IQ-jának eloszlását. Az IQ átlagértéke – definíció szerint – 100. Eközben nagyjából ugyanannyi ember van, akinek az IQ-ja 100 fölötti, mint ahányé 100 alatti. A kissé átlag alatti intelligenciájúak nagyjából annyian vannak, mint a kissé átlag fölöttiek, és a buták ugyanannyian vannak, mint a zsenik. Bár néha nem úgy tűnik :-). Az IQ közelítő eloszlását ábrázoló grafikon:

A normális eloszlásnál nagy szerepe van a szórásnak. Ha az eloszlás normális és σ a szórása, akkor az értékek körülbelül 68%-a a [μ − σ; μ + σ] intervallumban található. Tehát nagyjából az értékek 68%-a legfeljebb egy szórással tér el az átlagtól. Az értékek körülbelül 95%-a a [μ − 2σ; μ + 2σ] intervallumban van, és 99,7%-a a [μ − 3σ; μ + 3σ] intervallumban. Áttekinthetően szemlélteti ezt a következő ábra:

Hivatkozások és források

• Néhány ábra a Wikipédiáról származik, a Normális eloszlás és az Intelligence cikkekből.