Disztributivitás

A disztributivitás két kétváltozós művelet tulajdonsága, mint például az összeadásé és a szorzásé. A disztributivitás szorzás és összeadás esetén azt mondja ki, hogy „felbonthatjuk a zárójelet”. Például ha adott a

$$2\cdot (3+4)$$

kifejezés, akkor tudjuk, hogy felbonthatjuk a zárójelet, és egy másik kifejezést kapunk:

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

A két kifejezés ugyanarra az eredményre vezet, a 14-re. Ezt a felbontást azért tehettük meg, mert a szorzás a valós számok halmazán disztributív az összeadásra nézve. Általánosan tehát, ha adott két művelet, · és +, akkor azt mondjuk, hogy a · művelet az M halmazon disztributív a + műveletre nézve, ha igaz, hogy

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

minden a, b, c ∈ M esetén. További példa a disztributív műveletekre az ítéletlogika műveletei, a ∧ konjunkció és a ∨ diszjunkció. Képzeljük el, hogy adottak az A, B és C állítások. Ha azt mondjuk, hogy „A és (B vagy C)”, azt így írjuk le:

$$A\wedge (B\vee C)$$

És mivel a konjunkció disztributív a diszjunkcióra nézve, egyúttal igaz az is, hogy

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Vagyis szavakkal: „(A és B) vagy (A és C)”. Hogy olyan műveletekre is legyen példánk, amelyek nem disztributívak, vegyük például az összeadást és a kivonást:

$$10-(5+3)$$

A helyes eredmény természetesen 2, mert a zárójelben lévő összeadás elvégzése után 10 − 8 adódik, ami 2. Ha erre a számításra alkalmaznánk a disztributivitás szabályát, a következő kifejezést kapnánk:

$$(10-5)+(10-3)$$

A zárójelek kiszámítása után az 5 + 7 összeget kapnánk, ami 12. Látjuk, hogy rossz eredményt kaptunk, tehát az összeadás és a kivonás nem disztributív.

További példák: a mátrixokkal végzett egyes műveletek teljesítik a disztributív törvényt. A vektortér vektorai szintén. A test műveleteinek disztributívnak kell lenniük.