Kiemelés

Mielőtt belevágunk a kiemelésbe, átvesszük a zárójel felbontását, mert az nagyon szorosan összefügg a kiemeléssel. Mondhatnánk azt is, hogy a kiemelés a zárójel felbontásának teljes fordítottja.

A zárójel felbontása

A zárójel felbontása egyszerű művelet, egy példán mutatjuk meg: számítsuk ki a 3 · (5 + 8) kifejezést. Kétféleképpen járhatunk el. Összeadhatjuk a zárójelben álló kifejezést, és a 3 · 13 szorzatot kapjuk, mert 5 + 8 = 13.

A második mód az, hogy a zárójelet felbontjuk. Ez azt jelenti, hogy a zárójel előtt álló számmal, a hármassal megszorozzuk a zárójelben álló mindkét számot. A zárójelben lévő plusz jel megmarad. Így kapjuk:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Mindkét eljárás ugyanarra az eredményre vezet: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Miért működik a zárójel felbontása

Miért engedhetjük meg magunknak ezt az eljárást, miért működik a felbontás? Képzeljük el a szorzatot kiírt összegként. Ha például azt írjuk, hogy 3 · 7, azt mondjuk vele, hogy a hetest háromszor akarjuk összeadni, azaz 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Ugyanígy felírhatjuk a zárójeles példát is: a 3 · (5 + 8) ugyanaz, mint (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Mivel az összeadásnál nem számít a sorrend, elhagyhatjuk a zárójeleket, és az ötösöket meg a nyolcasokat egymás mellé tehetjük így: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. És itt már látjuk, hogy ezt a kifejezést felírhatjuk szorzással is így: 3 · 5 + 3 · 8, vagyis azt kaptuk, amit a zárójel felbontásánál.

Példák a zárójel felbontására

1. Bontsd fel az 5 · (4 + 7) zárójelet. Megint csak megszorozzuk a zárójelben álló számokat öttel, és megkapjuk, hogy 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Bontsd fel a 6 · (x + 4) zárójelet. Az ismeretlentől ne ijedjünk meg, egyszerűen szorozzuk meg azt is hattal. Azt kapjuk, hogy 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Bontsd fel az x · (4 + 173) zárójelet. Most az ismeretlen áll a zárójel előtt, ezért a zárójelen belüli mindkét számot megszorozzuk x-szel. Azt kapjuk, hogy x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Bontsd fel: 4x · (2x + 7). Most az ismeretlen a zárójel előtt is és benne is szerepel, ráadásul a zárójel előtt bonyolultabb kifejezés áll. Ez megint nem baj, a zárójel tartalmát megszorozzuk 4x-szel így: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Egyszerű kiemelés

A kiemelés a zárójel felbontásának fordított eljárása. Az elején van például egy 10x + 5 kifejezésünk. Ha most találunk valamilyen számot, amellyel mindkét tagot értelmesen el tudjuk osztani, ezt a számot kiemelhetjük a zárójel elé. A mi kifejezésünkben ez az 5 lesz, mert 10x / 5 = 2x és 5 / 5 = 1. Felírhatjuk tehát, hogy

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Ha visszafelé felbontjuk az 5 · (2x + 1) zárójelet, ismét a 10x + 5 kifejezést kapjuk. A kiemelés célja általában az, hogy az adott kifejezést egyszerűbbé tegyük, vagy szorzat alakra hozzuk, hogy egyszerűsíteni tudjunk vele a törtben.

Az ismeretlen kiemelése

Gyakran magát az ismeretlent emeljük ki, nem csak számot kell kiemelnünk. Ha tehát van egy 3x² + 7x kifejezésünk, kiemelhetjük belőle az x-et, azaz mindkét tagot elosztjuk x-szel, zárójelet teszünk, és a zárójelet megszorozzuk x-szel. Azt kapjuk, hogy 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Általában arra törekszünk, hogy a „lehető legtöbbet” emeljük ki, ezért ha van egy 8x² + 12x kifejezésünk, kiemelhetünk csak x-et, és azt kapjuk, hogy 8x² + 12x = x · (8x + 12), de látjuk, hogy a zárójelből még kiemelhetnénk a 4-et. Megtehetjük most, utólag, és azt kapjuk: x · (4 · (2x + 3)). A külső zárójeleket elhagyhatjuk, és azt kapjuk: 4x · (2x + 3).

Ugyanerre az eredményre jutnánk, ha az eredeti 8x² + 12x kifejezésből rögtön a 4x-et emelnénk ki. Ha kiírnánk, azt kapnánk, hogy

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Bonyolultabb kifejezések kiemelése

Eddig csak olyan kifejezésekből emeltünk ki, amelyeknek két tagjuk van. De hosszabb kifejezésekből is kiemelhetünk. Például a 7x³ + 5x² + 2x kifejezésből kiemelhetjük az x-et, és azt kapjuk, hogy x · (7x² + 5x + 2).

Nem kell mindig csak valamilyen szép számot kiemelnünk, kiemelhetünk bármit. Például a 6x + 7 kifejezésből kiemelhetjük a 2-t, de csúnya eredményt kapunk, mert mindkét tagot el kell osztanunk kettővel. A 6x-nél ez simán kijön, mert 6x / 2 = 3x, de a 7-nél már nem jön ki szépen: 7 / 2 = 3,5. Így a következő kifejezést kapjuk: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Megoldott példák

• Emelj ki valamit szépen a 25x + 45 kifejezésből. Első pillantásra látszik, hogy kiemelhetjük az 5-öt, így azt kapjuk, hogy 5 · (5x + 9).

• Egyszerűsítsd a törtet

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Először a tört számlálójából kiemeljük az x-et. A számlálóban így az x · (3x + 7) szorzatot kapjuk. Most az egész törtben egyszerűsíthetünk x-szel.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Emelj ki valamit szépen a −2x² − 8x kifejezésből. Itt először találkozunk negatív számokkal. Ez egyáltalán nem baj, ahogy a pozitív számokat kiemeltük, úgy kiemelhetjük a negatívakat is. Rögtön kiemelhetjük a −2x-et is egyszerre. Azt kapjuk, hogy

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$